7. Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А₁ + А₂ + ... + А_n)=Р(А₁) + Р (А₂) +... +Р (А_n).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий Р(А + В+С) = Р(А) + Р(В) + + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

8. Противоположное событие и его вероятность.

Событие, противоположное событию A, обозначается как   и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае  значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.

Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть 

 Например, противоположными событиями являются выпадение четного или нечетного числа очков на грани игрального кубика.

Суммой событий   и   называется такое событие   (или  ), которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А, или В.

Произведением событий А и В называется такое событие АВ (или  ), которое заключается в наступлении событий А и В одновременно.

9. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность - Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью Р_А(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р_А(В).

Доказательство:

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К.. По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М: 

  _{Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.}

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство Р_А(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.