4. Относительная частота и статистическая вероятность.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Т.о., относительная частота события А определяется по формуле w(a)=m/n где m – число появлений события А, n – общее число испытаний.

в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности: - если событие достоверно, то т = п и относительная частота т/п = п/п = 1, т.е. статистическая вероятность достоверного события равна 1. -  если событие невозможно, то т = 0 и, сл-но, относительная частота 0 / п =0, т.е. статистическая вероятность невозможного события равна 0. - для любого события  и, сл-но, относительная частота  , т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Для существования статистической вероятности события А требуется: - возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное количество испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает; - устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

5. Достоверное и невозможное события. Их вероятности.

Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.   Условимся обозначать его буквой D.   Для достоверного события число его наступлений m равно числу испытаний n, поэтому частость его всегда равна единице, т. е.вероятность достоверного события следует принять равной единице:

P(D) = 1

Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.   Условимся обозначать его буквой H.   Для невозможного события m = 0, следовательно, частость его всегда равна нулю, т. е. вероятность невозможного события следует считать равной нулю:

P(H) = 0

6. Сумма и произведение событий.

А,В,….,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=A B …. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим идет стрельба по мишени

                А₁ - попадание при первом выстреле

                А₂ - попадание при втором выстреле

                S=A₁+A₂ (хотя бы одно попадание)

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А₁ - промах при первом выстреле

                А₂ - промах при втором выстреле

                А₃ - промах при третьем выстреле

                 (не одного попадания)

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A)        P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S₁+S₂+…+S_n

P(S)=P(S₁)+P(S₂)+…+P(S_n)

Следствие: Если событие S₁, S₂, …, S_n образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место: P(AB)=P(A)P(B|A),           P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂)…P(A_n)