5.2.2 Обратная форма закона Гука Перепишем первое из трех выражений (5.3) в следующем виде:

или .

Отсюда найдем

и, с учетом (5.4), получим

.

Введем обозначения для множителей при деформациях и

, . (5.6)

В результате имеем: . Выполнив аналогичные преобразования со второй и третьей формулами (5.6), получим обобщенный закон Гука в обратной форме, в котором напряжения выражаются через деформации:

. (5.7)

В отличие от выражений (5.3), формулы (5.7) вместо упругих констант Е и ν содержат две другие постоянные, λ и μ, которые называются упругими постоянными Ламе¹⁴ (константами Ламе). Из формул (5.6) можно получить и обратные зависимости, т. е. выразить Е и ν через постоянные Ламе:

, . (5.8)

Сложив, левые и правые части выражений (5.7), получим обратную форму записи закона Гука для объемной деформации:

. (5.9)

5.3. Модуль объемной упругости и модуль сдвига

Введем понятие средней величины нормальных напряжений по формуле:

. (5.10)

Тогда выражение (5.10) можно представить в следующем виде:

или . (5.11)

Следовательно, среднее нормальное напряжение в точке пропорционально объемной деформации в окрестности той же точки. в зависимости (5.11) коэффициент пропорциональности

, (5.12)

называют объемным модулем упругости материала, а выражение (5.11) законом упругого изменения объема. Этот закон справедлив и при высоких значениях среднего напряжения, значительно превышающих обычный предел пропорциональности материала, установленный при испытаниях на одноосное растяжение или сжатие. В связи с этим объемная деформация, равная , практически всегда исчезает после прекращения действия вызвавших ее напряжений.

Для выявления модуля сдвига найдем разность первых уравнений (5.7):

.

Поступая аналогично, найдем разность второго и с третьего уравнений (5.4), а также третьего и первого. В результате получим:

(5.13)

А так как, согласно формуле (5.13), , и соответственно, и , то подстановкой в (5.13), с учетом ɣ_12,- ɣ₃₁ получим закон Гука для главных сдвигов в трех главных плоскостях:

, , , (5.14)

где буква μ заменена буквой G. Коэффициент пропорциональности G в выражениях (5.14), называют модулем сдвига. Следовательно, как и вторая константа Ламе , модуль сдвига определяется формулой

. (5.15)

Закон Гука для сдвигов, в форме (5.14), утверждает, что максимальные касательные напряжения , и прямо пропорциональны наибольшим угловым деформациям , и в соответствующих плоскостях трехосного напряженно-деформированного состояния.

Модуль сдвига можно найти и непосредственно из выражений (5.13):

. (5.16)

Именно эти отношения служат обоснованием геометрического подобия кругов Мора.

Возвращаясь снова к системе уравнений (5.13), отметим, что если, например, из третьего уравнения, найдем и сделаем подстановку во второе уравнение, то получим первое уравнение. Это означает, что только два из трех уравнений являются линейно независимыми. Однако, в качестве третьего независимого уравнения, можно использовать выражение (5.8). Таким образом, если за исходные константы материала принять величины K и G (модуль объемной упругости и модуль сдвига), то обобщенный закон Гука, примет следующий вид:

(5.17)

Модули K и G, в свою очередь, выражаются или через константы Е и ν, согласно (5.12) и (5.13), или через постоянные Ламе по формулам и , что следует из сравнения (5.9) и третьей формулы (5.17).