Тема 2. Основные теоремы

Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Формулы полной вероятности и Байеса. ([Кремер],

§ 1.7—1.11; с. 33—55, 62—66).

Студент должен четко усвоить основные операции над события­ми — их сумму и произведение. Если (А + В) — событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступления либо события А, либо события В либо обоих событий вместе), то АВ пред­ставляет событие, состоящее в совместном появлении двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Нужно знать, что собы­тием, противоположным сумме нескольких событий, является произве­дение противоположных событий, т.е.

.

Основными теоремами данной темы являются теоремы сложения и умножения вероятностей. Следует четко знать, что вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей (т.е. Р(А + В) =Р(А) +Р(В)) для несовместных событий, а вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей (т.е. Р(АВ) =Р(А)Р(В)) для независимых событий.

Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, являю­щиеся следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Общим для этих формул является то, что они применяются в случае, когда данное событие F может произойти только при условии появления одной из гипотез А₁, А₂, ..., А_п, образующих полную группу событий. Но если в формуле полной вероятности для P(F) ищется вероятность события F (безотносительно к рассматриваемой гипотезе), то формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку априорных вероятностей гипотез Р(A_i) (i = 1, 2, ..., п), известных до испытания, лишь после того, как событие произошло, т.е. найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности ги­потез P(A_i).

Особое внимание следует уделить задачам по данной теме. Реше­ние каждой из них должно сопровождаться предварительным логичес­ким анализом условия, формулировкой и обозначением искомого со­бытия, выявлением его логической связи с другими, более простыми событиями. Этот анализ выявит применимость в данной задаче той или иной формулы или теоремы (теорем сложения, умножения, фор­мул полной вероятности, Байеса и т.п.) и позволит обосновать даль­нейшие операции, связанные с расчетом вероятностей.

При решении задачи прежде всего необходимо ввести обозначения для событий и но данным условия составить соотношения между ними, позволяющие определить искомую вероятность через данные или более просто определяемые вероятности. Нужно соблюдать усло­вие применимости используемой теоремы (например, условие несо­вместности событий при использовании теоремы сложения, условие за­висимости или независимости событий при использовании теоремы умножения и т.п.).

Рекомендуется разобрать задачи с решениями № 1.26—1.28, 1.30— 1.31, 1.33—1.35 и задачи для самостоятельной работы № 1.53—1.78 (см. [Кремер]).

Тема 3. Повторные независимые испытания

Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Многоугольник распределения вероятностей. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применения. Локальная теорема Муавра—Лапла­са. Функция f(x), ее свойства и график. Интегральная теорема Муав­ра—Лапласа и ее следствия. Функция Ф(х) Лапласа и ее свойства ([Кремер], § 2.1—2.4; с. 67—85).

В этой теме рассматривается схема Бернулли — п последователь­ных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р. Результат испытаний появление т раз события А, которое чередуется в любом порядке с п-т раз непоявлением события А.

При этом могут определяться вероятности того, что:

а) событие А появится точно т раз (вероятность );

б) событие А появится не менее или не более данного числа а раз (вероятности );

в) событие А появится т раз, заключенное в границах от а до b (включительно), т.е. вероятность .

При решении задач темы следует уяснить, что нужно понимать под испытанием и событием А. Далее необходимо сформулировать вопрос задачи в виде условий, налагаемых на число т наступлений события или частость (относительную частоту) т/п. Затем прейти к записи ус­ловий задачи в терминах и обозначениях схемы повторных испытаний, к выбору подходящей расчетной формулы и вычислительной схемы.

Расчет вероятностей можно произво­дить по точной формуле Бернулли (если п — небольшое число) и по асимптотическим формулам, если п велико.

Если по техническим причинам вероятность не может быть вычислена по формуле Бернулли, то используются асимптотические формулы — формула Пуассона (если п — велико, р — мала, так, что ), локальная формула Муавра—Лапласа (если

npq > 20). Если необходимо найти вероятности числа т (частости т/п) появления события, заключенного в некоторых пределах, то при условии npq > 20 может быть использована интегральная теорема Муавра—Лапласа и ее следствие.

Рекомендуется разобрать задачи с решениями № 2.1—2.11 и задачи для самостоятельной работы № 2.13—2.34 (см. [Кремер]).