Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

Функция распределения случайной величины, ее свойства и график. Определение непрерывной случайной величины. Вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Плотность вероят­ности, ее свойства и график. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Определение нормального закона рас­пределения; теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормаль­ная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров. Функция распределения нормально распределенной случайной величины и ее вы­ражение через функцию Лапласа. Формулы для определения вероятнос­ти: а) попадания нормально распределенной случайной величины в задан­ный интервал; б) отклонения нормально распределенной случайной вели­чины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». Понятие о центральной предельной {теореме (теореме Ляпунова). ([Кремер], § 3.5—3.6, 3.8, 4.7, 6.5; с. 103—115, 131—132, 138—139, 157—166, 173—174, 228— 231).

Функция распределения случайной величины — одно из фундамен­тальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсаль­ным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(х) представляет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т.е. F(х) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения F(х) и ее производной — плотности веро­ятности случайной величины и уметь их изображать графически. Из непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нор­мальный закон распределения. Необходимо знать теоретико-вероят­ностный смысл его параметров, выражение функции распределения через функцию Лапласа Ф(х), свойства нормально распределен­ной случайной величины, правило трех сигм, важно четко представ­лять, что нормальный закон, в отличие от других, является предель­ным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых слу­чайных величин Х₁, Х₂, .--, Х_п при .

Рекомендуется разобрать задачи с решениями № 3.11—3.14, 3.24, 4.10 и задачи для самостоятельной работы № 3.47—3.48, 3.60—3.66, 4.19 - 1.23 (см. [Кремер]).

Тема 6. Двумерные (n-мерные) случайные величины

Понятие двумерной (п-мерной) случайной величины. Условные рас­пределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства коэффици­ента корреляции. Двумерное нормальное распределение. Условное мате­матическое ожидание и дисперсия. ([Кремер],

§ 5.1, 5.6, 5.7; с. 175—179, 196— 202, 204—207).

В этой теме обобщается понятие случайной величины, вводится по­нятие многомерной (n-мерной) случайной величины и условных рас­пределений и их числовых характеристик. Так как математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y недостаточно полно характеризуют двумерную случайную величину (X, Y). рассматривают­ся ковариация и коэффициент корреляции случайных величин, кото рые позволяют выявить степень зависимости между X и Y. Завершает­ся тема понятием двумерного нормального закона распределения. Сле­дует обратить внимание на то, что в случае двумерного нормального закона зависимости условных математических ожиданий

М_x (Y) (или М_у(Х)) от х (или у), то есть нормальные регрессии Y по X (или X по Y) всегда линейны, а условные дисперсии D_x( Y) (или D_y{X)) постоянны и не зависят от значений х (или у).