Условия равновесия автогенератора и стационарные состояния

Так как амплитудные и фазовые соотношения в АГ определяются схемой питания лишь в незначительной степени, то в структурных и функциональных схемах АГ источники питания обычно не указываются. Таким образом, АГ можно представить в виде замкнутого каскадного соединения двух четырехполюсников (рис. 15).

Рис. 15. Структурная схема автогенератора с ПОС

Будем считать, что в АГ используется "идеальный" АЭ, входная и выходная проводимости которого близки к нулю. Для этого достаточно включить указанные проводимости реального АЭ в состав НКС. Тогда уравнения баланса в установившемся (стационарном) режиме можно записать в виде

u_ВЫХ(t)=К_U×u_ВХ(t); u_ОС(t)=К_ОС×u_ВЫХ(t), (24)

где К_U – коэффициент передачи по напряжению усилителя на основе АЭ; К_ОС – коэффициент передачи по напряжению НКС (коэффициент обратной связи). При замыкании обратной связи (ОС) u_ВХ(t)=u_ОС(t). Тогда выражения (24) можно привести к виду

u_ВЫХ(t)=К_U×hНКС×u_ВЫХ(t) (25)

или

u_ВХ(t)=К_U×hНКС×u_ВХ(t). (26)

Совпадение выражений (25) и (26) с точностью до функций мгновенных напряжений означает, что эти напряжения идентичны друг другу по форме, в том числе по частоте, и отличаются лишь амплитудой и взаимным временным сдвигом (для гармонических напряжений – амплитудой и начальной фазой при равенстве частот).

В случае генерирования гармонических колебаний от мгновенных значений целесообразно перейти к комплексным амплитудам. Тогда выражение для первой гармоники выходного тока АЭ имеет вид

, где – средняя крутизна АЭ по первой гармонике. Ток с такой амплитудой создает на входном сопротивлении узкополосной НКС напряжение

, С учетом комплексного коэффициента ОС это напряжение преобразуется в напряжение

.

Подстановка комплексных амплитуд и коэффициентов вместо мгновенных напряжений в выражение (25) или (26) приводит к комплексной форме записи уравнения равновесия

. (27) Это уравнение также можно представить в виде

, (28) введя комплексное управляющее сопротивление , представляющее собой параметр, характеризующий свойства линейной пассивной части АГ и имеющий размерность сопротивления.

В общем случае все сомножители, входящие в выражение (27), являются комплексными, поэтому это уравнение можно представить в виде системы двух вещественных уравнений

S_1×Z_H×K_OC=1; j_S+j_H+j_OC=2p×n, n=0, 1, 2… (29)

Аналогичным образом можно поступить и в отношении выражения (28), заменив его системой уравнений

S_1×Z_У=1; j_S+j_У=2p×n, n=0, 1, 2… (30)

Системы равенств (29) и (30) носят название уравнений баланса амплитуд и фаз. Для большинства схем автогенераторов уравнение баланса фаз выполняется при п=0. Исключение составляют АГ, в которых сигнал в цепях АЭ и НКС запаздывает на один или несколько периодов, например, RC-генераторы с фазовращающими цепями.

Полученные уравнения равновесия при любой форме их записи показывают только лишь возможность существования в АГ стационарного состояния, отличного от состояния покоя, и в этом смысле их выполнение является необходимым, но не достаточным условием для длительного существования колебаний. Решение последнего вопроса может быть получено только на основе исследования устойчивости состояния равновесия.

Поскольку переменные, входящие в состав уравнений баланса амплитуд и фаз, зависят и от амплитуды, и от частоты колебаний, определение токов и напряжений в схеме АГ и частоты генерируемых им колебаний требует совместного решения систем уравнений (29) или (30). Обычно частота генерируемого сигнала близка к собственной резонансной частоте НКС, и это позволяет сначала на данной частоте определить S₁, K_OC и Z_H, затем найти амплитуду колебаний и только потом, зная амплитуду, уточнить значение частоты.

Для упрощения анализа амплитудных соотношений будем считать, что в АГ используется безынерционный АЭ (то есть j_S=0), входная, выходная и проходная проводимости которого практически не зависят от u_ВХ и u_ВЫХ. С учетом этого уравнение равновесия, записанное в форме (30), можно представить как . Поскольку S₁ имеет вещественный характер, баланс фаз выполняется на частоте ω₀, при которой Х_У=0, а уравнение баланса амплитуд принимает вид

S₁(U_ВХ)×R_У=1. (31)

С учетом зависимости средней крутизны по первой гармонике от амплитуды входного напряжения (напряжения ОС), амплитуда колебаний в АГ может быть найдена из уравнения (31). Сделанные выше допущения позволяют считать, что нелинейный характер уравнения баланса амплитуд определяется только нелинейной зависимостью S₁=S₁(U_ВХ). Воспользуемся графическим решением уравнения (31), представленным на рис. 16.

Рис. 16. Колебательные характеристики АЭ автогенераторов

Из выражения (31) явно следует, что амплитуда напряжения ОС в установившемся режиме будет определяться абсциссой точки пересечения кривой S₁(U_ВХ) с прямой 1/R_У, зависящей от смещения Е_ВХ. При Е_ВХ-E_ОТС>0 и U_ВХ<(Е_ВХ-E_ОТС), где E_ОТС – напряжение отсечки выходного тока, АЭ работает в режиме А. Его средняя крутизна по первой гармонике равна статической крутизне в выбранной рабочей точке S и при кусочно-линейной аппроксимации характеристик АЭ не зависит от U_ВХ. Как только U_ВХ превысит величину (Е_ВХ-E_ОТС), появится отсечка в импульсе выходного тока АЭ, а средняя крутизна по первой гармонике S₁=S×g₁(q) начнет уменьшаться.

При Е_ВХ=E_ОТС угол отсечки q=π/2 (АЭ работает в режиме В) и в области недонапряженного режима не зависит от U_ВХ. Поэтому график S₁(U_ВХ)=S/2 представляет собой горизонтальную линию.

При Е_ВХ<E_ОТС выходной ток АЭ равен нулю, пока U_ВХ не превысит величины |Е_ВХ-E_ОТС|. Равна нулю и средняя крутизна. С дальнейшим ростом U_ВХ появится выходной ток, угол отсечки которого начнет увеличиваться, стремясь к π/2, что будет сопровождаться ростом S₁.

Резкое снижение S₁ при U_ВХ>U_ВХ.ГР объясняется переходом АЭ в перенапряженный режим.

Тем или иным значениям управляющего сопротивления на рис. 16 соответствуют горизонтальные линии равной проводимости 1/R_У. В зависимости от выбранных значений R_У возможны следующие решения. Если линия проводимости не имеет точек пересечения с кривой средней крутизны, то ненулевое состояние равновесия отсутствует и возбуждение колебаний невозможно. Эта ситуация, например, имеет место при (Е_ВХ-E_ОТС)<0 и (1/R_У)>S/2. При наличии только одной точки пересечения существует единственное состояние равновесия, что характерно для (Е_ВХ-E_ОТС)>0 (этому условию соответствуют точки a, d и f на рис. 16), а также для некоторых вариантов при (Е_ВХ-E_ОТС)<0 (таким условиям, например, соответствует точка е). Однако в большинстве случаев при (Е_ВХ-E_ОТС)>0 существуют две точки пересечения линии равной проводимости и кривой крутизны (точки b и с на рис. 16), следовательно, существуют два состояния равновесия.