Глава 1. Теоретические основы статистического моделирования случайных процессов

1.1. Преобразования случайных величин и сущность метода Монте-Карло

1. Задача установления закона распределения и числовых характеристик функций от случайных величин представляет собой один из основных элементов статистического моделирования. Для простоты рассмотрим только случай функций c ограниченным количеством интервалов монотонности.

Пусть СВ X и Y связаны между собой соотношением Y=X² . В этом случае получим

(1.1.1)

Для обратного преобразования Y= будем иметь

. (1.1.2)

Эти соотношения используются при построении многих важных для практического применения композиционных законов распределения. В частности, если СВ X имеет стандартное нормальное распределение, то СВ Y=X ² , имеющая плотность распределения

, (1.1.3)

представляет собой (Хи-квадрат) с одной степенью свободы и широко применяется в математической статистике. Среднее и дисперсия СВ с плотностью (1.1.3) равны: M[Y]=1; D[Y]=2.

Пусть случайные величины и связаны соотношением . Найдем ПР :

. (1.1.4)

Для показательного преобразования , обращая (1.1.4), получим

. (1.1.5)

Рассмотрим преобразование Для ПР получаем

(1.1.6)

2. Применим к непрерывной СВ Х собственную ФР, т.е. рассмотрим преобразование . В силу первого свойства ФР величина Y будет сосредоточена на отрезке [0,1]. Для ПР f_Y(y) полу чим

,

где – функция, обратная к ФР , существование которой следует из монотонности .

Продолжив преобразование, получим

. (1.1.7)

Таким образом, автопреобразование переводит любую непрерывную СВ в . Отсюда с очевидностью вытекает и обратное утверждение: преобразование переводит СВ в СВ с ФР . Полученное тождество используется при статистическом моделировании случайных процессов методом «Монте-Карло».

Генератор псевдослучайных чисел в серии повторных обращений выдает последовательную выборку из (имитирует рулетку с единичной окружностью). Преобразованием получается выборка из совокупности с ФР . Например, преобразование дает СВ с показательным распределением , . Все типовые ПР реализованы в качестве стандартных функций в [6].

3. Моделирование целочисленных случайных величин осуществляется путем разбиения единичного отрезка на интервалы, равные вероятностям их возможных значений. Пусть, например, требуется смоделировать (разыграть) полиномиальную СВ, у которой три

возможных значения реализуются с вероятностями: . Разбивая единичный отрезок на три интервала:

,

интерпретируем попадание равномерной на [0,1] СВ Y в каждый из интервалов как реализацию соответствующего исхода. Если дискретная СВ имеет N равновероятных значений, то моделирующим соотношением будет [NY]+1 , где [·] означает целую часть числа, заключенного в скобки. В качестве примера рассмотрим виртуальный лототрон, реализующий в пакете Mathcad-2001 последовательность независимых тиражей «Спортлото 6 из 49» (рис. 1.1.1). Более содержательные примеры приведены в приложении I.

Рис. 1.1.1. Текст программы-имитатора и таблица 10 тиражей