4. Логічні відношення між формулами

Одночасно з виділенням класу логічних законів в рамках логічних теорій розв'язується ще одна задача - встановлюються логічні відношення (відношення по істинності і хибності) між формулами. При цьому враховуються можливі сумісні значення формул при різних інтерпретаціях нелогічних символів в їх складі.

Отже, щоб встановити відношення між формулами в рамках деякої логічної теорії, необхідно визначити, які значення можуть або ж які значення не можуть прийняти ці формули сумісно при допустимих в даній теорії інтерпретаціях нелогічних символів, що входять до складу вказаних формул.

Як фундаментальні логічні відношення виділяють відношення сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування.

Формули деякої множини формул Г називаються сумісними по істинності в деякій логічній теорії Т, якщо і тільки якщо в Т існує інтерпретація нелогічних символів, що входять у згадані формули, при якій кожна формула з Г приймає значення "істина".

В протилежному випадку (тобто коли не існує інтерпретації, при якій формули з Г одночасно є істинні) вказані формули несумісні по істинності.

Формули з множини Г називаються сумісними по хибності в теорії Т, якщо і тільки якщо в Т існує інтерпретація нелогічних символів, що входять у вказані формули, при якій кожна формула з Г приймає значення "хиба".

В іншому випадку (тобто коли не існує інтерпретації, при якій формули з Г одночасно хибні) вказані формули несумісні по хибності.

Найбільш важливим є відношення логічного слідування.

З множини формул Г логічно слідує (випливає) формула В в деякій логічній теорії Т, якщо і тільки якщо в Т не існує інтерпретації нелогічних символів, що входять у Г і у В, при якій кожна формула з Г приймає значення "істина", а формула В - значення "хиба".

В іншому випадку (тобто коли існує інтерпретація, при якій формули з Г одночасно істинні, а В хибна) формула В не слідує (не випливає) логічно з Г.

Твердження "З множини формул Г логічно слідує формула В" записують скорочено таким чином: "Г |= В".

Отже, сформульовано визначення основних логічних відношень між формулами для довільної логічної теорії. В рамках класичної логіки висловів є ефективна процедура, яка дозволяє з'ясовувати, чи є формули деякої множини Г сумісними по істинності, сумісними по хибності, чи випливає (слідує) з них довільна формула В у випадках, коли Г містить скінчене число формул.

Встановити відношення між скінченим числом формул можна заздалегідь, побудувавши для цих формул сумісну таблицю істинності.

Алгоритм побудови сумісної таблиці для декількох формул нескладний. Перш за все необхідно виділити пропозиціональні змінні, які входять в склад принаймні однієї з цих формул. Потім слід задати всі можливі набори значень виділених змінних (записавши їх в стовпчик в таблиці). Потім описаним раніше способом обчислюють значення кожної з формул на кожному із заданих наборів. Побудувавши сумісну таблицю для формул, приступають до встановлення логічних відношень між ними. При цьому використовують ті критерії сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування, які відповідають сформульованим вище визначенням вказаних відношень.

Якщо в сумісній таблиці знайдеться принаймні один рядок, в якому кожна формула приймає значення і, то дані формули сумісні по істинності. Якщо ж рядок, в якому формули одночасно істинні, відсутній, то вони несумісні по істинності.

Якщо в сумісній таблиці знайдеться принаймні один рядок, в якому кожна формула приймає значення х, то вони сумісні по хибності. Якщо ж рядок, в якому формули одночасно хибні, відсутній, то вони несумісні по хибності.

Припустимо, що нам необхідно з'ясувати, чи слідує логічно з формул A_l, А₂, ..., А_n, формула В. Будуємо сумісну таблицю для формул A_l, А₂, ..., А_n і В. Якщо в даній таблиці відсутній рядок, в якому формули A_l, А₂, ..., А_n одночасно істинні, а формула В хибна, то A_l, А₂, ..., А_n |= В. Якщо ж такий рядок є, то В не слідує логічно з A_l, А₂, ..., А_n.

Метод таблиць істинності може бути використаний для перевірки правильності висновків, здійснюваних в природній мові. Для того, щоб перевірити висновок засобами класичної логіки висловів, необхідно виразити в мові цієї теорії логічну форму його засновків і висновку. Далі слід побудувати сумісну таблицю істинності для отриманих формул і з її допомогою відповісти на питання, чи слідує логічна форма висновку з логічних форм засновків. Якщо логічне слідування має місце, то даний умовивід є правильним, в іншому ж випадку він неправильний.

На основі фундаментальних логічних відношень - сумісності по істинності, сумісності по хибності і логічного слідування - можуть бути визначені інші типи відношень по істинності і хибності між формулами. Наведемо найбільш вживані з них.

Відношення суперечності (контрадикторність). Формули А і В знаходяться у відношенні суперечності, якщо і тільки якщо вони несумісні по істинності і несумісні по хибності.

Відношення протилежності (контрарність). Формули А і В знаходяться у відношенні протилежності, якщо і тільки якщо вони несумісні по істинності, але сумісні по хибності.

Відношення підпротилежності (субконтрарність). Формули А і В знаходяться у відношенні підпротилежності, якщо і тільки якщо вони сумісні по істинності, але несумісні по хибності.

Відношення логічної еквівалентності. Формули А і В логічно еквівалентні, якщо і тільки якщо з А логічно слідує В і з В логічно слідує А. З даного визначення випливає, що в кожному рядку сумісної таблиці обидва логічно еквівалентні формули приймають однакові значення.

Відношення логічного підпорядкування. Формула А логічно підпорядковується формулі В, якщо і тільки якщо з В логічно слідує А, але з А не слідує логічно В (тобто в сумісній для А і В таблиці відсутній рядок, в якому В істинна, а А хибна, але є рядок з істинною А і хибною В).

Відношення логічної незалежності. Формули А і В логічно незалежні, якщо і тільки якщо вони сумісні по істинності і по хибності і не слідують одна з другої. З даного визначення виникає, що в сумісній таблиці для логічно незалежних формул А і В є всі можливі комбінації значень: є рядок, в якому вони одночасно істинні, є рядок, в якому вони одночасно хибні, є рядок, в якому А істинна, а В хибна, і нарешті, є рядок в якому В істинна, а А хибна.

5. Основні закони і способи правильних міркувань логіки висловів

В попередніх пунктах був сформульований ефективний метод, який дозволяє в рамках логіки висловів здійснювати перевірку висновків і вирішувати питання про логічну істинність висловів. Однак при практичному використовуванні логіки, тобто при здійсненні і аналізі міркувань в природній мові, кожного разу застосовувати процедуру побудови таблиць істинності було б справою громіздкою. Тому має сенс виділити найважливіші в практиці аргументування логічні закони і способи правильних міркувань. Володіючи цим мінімумом логічних засобів, можна з успіхом користуватися ним в процесі міркування, не остерігаючись вчинити логічну помилку.

Виділимо спочатку найбільш відомі закони логіки висловів. При цьому вкажемо не самі тотожно-істинні формули, а їх типи або, як то кажуть, схеми тотожно-істинних формул.

Почнемо з того, що закони логіки висловів мають одну важливу особливість: якщо будь-яку змінну в них всюди, де вона зустрічається, замінити деякою формулою, то в результаті знову отримуємо тотожно-істинну формулу.

Розглянемо, наприклад, формулу  (p & q)  ( p   q). В п.3 було показано, що вона є законом логіки висловів. Замінивши, скажімо, змінну р формулою р  q, а змінну q -формулою  r, отримаємо нову формулу ((p  q) &  r)  ( (p  q)    r). Неважко переконатися в тому, що вона, так само як і початкова формула, є законом логіки висловів.

Отже, якщо в тотожно-істинній формулі  (p & q)  ( p   q) замінити всі входження змінної р на довільну формулу А, а всі входження q на довільну формулу В, то отримана формула вигляду  (А & В)  ( А   В) також буде тотожно-істинною.

Розглянемо тепер сам вираз  (А & В)  ( А   В). Він не є формулою мови логіки висловів, оскільки символи А і В не містяться в алфавіті цієї мови. Дані символи ми використовуємо в метамові для позначення довільних формул об'єктної мови - мови пропозиціональної логіки. Інакше кажучи, А і В виступають метазмінними, що пробігають по множині формул. Тому  (А & В)  ( А   В) є метамовним виразом, що репрезентує клас формул зі схожою структурою;

Вирази, що містять метазмінні, які пробігають по формулах об'єктної мови і репрезентують класи формул цієї мови, називають схемами формул. Якщо ж схема формул репрезентує такий клас, кожна формула якого є законом логічної теорії, то її називають схемою законів даної теорії. Метамовний вираз  (А & В)  ( А   В) якраз і є однією зі схем законів класичної логіки висловів.

Подамо приклади деяких схем тотожно-істинних формул.

1. Закон тотожності: А  А. 2. Закон суперечності:  (А &  А). 3. Закон виключеного третього: А  А. 4. Закони видалення &: (А & В)  А, (А & В)  В. 5. Закони введення : А  (А  В), В  (А  В).

Подамо приклад форми правильного умовиводу, найбільш вживаного в практиці аргументування. Цей приклад належить до класу умовно-категоричних умовиводів. Це умовиводи з двох засновків, які містять імплікативний засновок, тобто засновок виду А  В. Другий же ж засновок, а також висновок може бути або антецедентом (А), або консеквентом (В) першого засновку, або запереченням того чи іншого (А або В).

До правильних умовно-категоричних умовиводів належать, наприклад, умовиводи наступного типу: А  В, А

В

Даний спосіб міркування отримав в середньовічній логіці назву modus роnens, що означає "стверджуючий спосіб міркування". Дійсно, у висновку даного типу ми переходимо від ствердження антецедента А імплікативного засновку А  В до ствердження його консеквента В. Прикладом застосування modus роnens є наступний умовивід: "Якщо зауважено спад виробництва, то росте число безробітних. Спад виробництва зауважено. Отже, число безробітних росте."