3. Таблиці істинності. Тотожно-істинні, тотожно-хибні та формули, що виконуються

Як і всяка логічна теорія, логіка висловів вирішує дві основні задачі: по-перше, виділяє серед класу формул множину своїх законів, і, по друге, встановлює логічні відношення (перш за все - відношення логічного слідування) між формулами формалізованої мови.

Нагадаємо (див. методичні вказівки "Предмет і основні поняття логіки"), що законом логічної теорії є формула, яка приймає значення "істина" при будь-якій допустимій в даній теорії інтерпретації нелогічних символів в її складі. Тому побудову логіки висловів слід почати з питання про те, яким чином можуть інтерпретуватися нелогічні символи її мови, тобто пропозиціональні змінні .

Інтерпретації пропозиціональних змінних. Нелогічні символи формалізованих мов, як вже мовилося, є параметрами деяких виразів природної мови. Зокрема, пропозиціональні змінні – це параметри простих висловів.

Процедура інтерпретації нелогічних символів полягає в приписуванні їм значень. Тип значення кожного такого символу повинен бути тим же самим, що і у відповідних виразів природної мови (тобто виразів, параметром яких є даний символ).

Оскільки кожний простий вислів або істинний, або хибний, то їх параметрам - пропозиціональним змінним - можуть приписуватися як значення тільки "істина" або "хиба". Отже, існує дві допустимі інтерпретації кожної окремо взятої пропозиціональної змінної: 1) інтерпретація, що ставить їй у відповідність значення "істина", 2) інтерпретація, що ставить їй у відповідність значення "хиба".

Поняття інтерпретації пропозиціональних змінних можна розповсюдити на випадок, коли значення приписуються не обов'язково одній, а деякому числу n різних пропозиціональних змінних, наприклад, р₁, р₂.,.., р_n.

Допустимою інтерпретацією змінних р₁, р₂.,.., р_n є довільний набір їх значень, тобто будь-яка послідовність <₁, ₂, …, _n>, де кожне _і є або "істина" (скорочено і), або "хиба" (скорочено х), причому а₁ є значення змінної р₁, ₂ - значення р₂ ,..., _n - значення р_n.

Якщо послідовність р₁, р₂.,.., р_n складається з однієї змінної (тобто якщо п = 1), то існує два набори значень: <і> та <х>. Компоненти цих одночленних послідовностей є значеннями р₁ при різних інтерпретаціях.

Якщо ця послідовність містить дві змінні (якщо п = 2), то наборами значень є пари (всього їх чотири): <і,і>, <і,і>, <х,і> та <х,х>. Перша компоненту пари указує на значення р₁, а друга - на значення р₂ при даній інтерпретації.

Якщо послідовність містить три змінні, то наборами значень будуть трійки (всього їх вісім): <і, і, і>, <і, і, х>, <і, х, і>, <і, х, х>, <х, і, і>, <х, і, х>, <х, х, і>, <х, х, х>.

Перша компонента трійки вказує на значення р₁, друга - на значення р₂, третя - на значення р₃ при даній інтерпретації.

Допустимі інтерпретації змінних р₁, р₂,.., р_n можуть бути представлені у вигляді таблиці: в рядках записуються різні набори значень цих змінних, а у стовпчиках тоді з'являються значення змінних при різних інтерпретаціях. Набори значень зручно розташовувати в алфавітному порядку (як розташовують слова в словнику). Складемо подібні таблиці для однієї, двох і трьох змінних:

P ₁ P₁ P₂ P₁ P₂ P₃

_________ ______________ _______________________

1 і 1 і і 1 і і і

2 х 2 і х 2 і і х

3 х і 3 і х і

4 х х 4 і х х

5 х і і

6 х і х

7 х х і

8 х х х

Загалом, число всіх можливих наборів значень п змінних дорівнює 2ⁿ. Наприклад, число допустимих інтерпретацій чотирьох змінних дорівнює 16, п'яти змінних - 32 і т.д.

Табличні визначення пропозиціональних зв'язок. Наступний етап побудови логічної теорії полягає в наданні точних значень логічним символам алфавіту. Нагадаємо, що в нашій формалізованій мові вихідними логічними символами є пропозиціональні зв'язки , &,  та . Ці зв'язки, як вже мовилося, можна розглядати як знаки функцій істинності - функцій, аргументами і значеннями яких є "істина" або "хиба".

Надати значення пропозиціональній зв'язці (в класичній логіці висловів) — це значить поставити їй у відповідність певну функцію істинності.

Які ж функції слід поставити у відповідність зв'язкам , &,  та  ? Для відповіді на це питання необхідно пригадати, який логічний зміст мають вислови форми  А, (А & В), (А  В), (А  В), за яких умов вони істинні, а за яких - хибні. Ця проблема детально розглядалася в п.1.

В ислів форми  A приймає значення "істина" у тому випадку, коли А хибне; якщо ж А істинне, то  А приймає значення "хиба". Сказане можна виразити за допомогою наступної таблиці: А  А

_________

і х

х і

В першому стовпчику вказані можливі значення формули А (і та х), а в другому - значення, які прийме формула  А у відповідних випадках. Дану таблицю можна розглядати як визначення функції істинності, представленої знаком заперечення. Ця функція об'єкту і ставить у відповідність об'єкт х, а об'єкту х - об'єкт і.

Вислів форми (А & В) істинний, якщо обидва вислови - і А, і В - істинні. Якщо ж хоча б один з них хибний, то (А & В) прийме значення "хиба". Умови істинності і хибності кон'юнктивних формул виразимо у таблиці:

А В А & В

__________________

і і і

і х х

х і х

х х х

У перших двох стовпчиках вказані всі можливі набори значень формул А і В, а в третьому - значення, які прийматиме формула (А & В) у відповідних випадках. Дана таблиця визначає функцію істинності, представлену знаком кон'юнкції таким чином: парі <і, і> ця функція зіставляє об'єкт і, а парам <і, х>, <х, і> та <х, х> — об'єкт х.

Вислів форми (А  В) істинний, якщо принаймні один з двох висловів - А або В - є істинним. Якщо ж обидва вони хибні, то (А  В) прийме значення "хиба". Виходячи з цих умов істинності і хибності формул виду (А  В), задамо табличне визначення диз'юнкції:

А В А  В

__________________

і і і

і х і

х і і

х х х

Вислів форми (А  В) хибний, якщо А істинне, а В хибне. В протилежному випадку, тобто коли А хибне, або В істинне, (А  В) прийме значення "істина". Табличне визначення імплікації виглядає таким чином:

А В А  В

__________________

і і і

і х х

х і і

х х і

Алгоритм побудови таблиць істинності. Задамо тепер алгоритм рішення питання, при яких інтерпретаціях пропозиціональних змінних довільна формула мови приймає значення "істина", а при яких значення "хиба". Інакше кажучи, запропонуємо метод, що дозволяє обчислювати значення будь-якої формули при кожному наборі значень змінних, що входять у її склад. Щоб вирішити вказану задачу, для даної формули А будується таблиця істинності. Її побудова здійснюється таким чином:

1) Перш за все виділяються всі відмінні одна від одної пропозиціональні змінні, що входять у склад А.

2) В стовпчик виписуються всі можливі набори значень цих змінних.

3) У складі формули А виділяються всі підформули (починаючи від елементарних і кінчаючи самою формулою А).

4) Обчислюється значення кожної підформули при кожному наборі значень змінних.

Значення елементарних підформул - пропозиціональних змінних - вже задані пунктом 2. При обчисленні значень складних підформул використовуються табличні визначення зв'язок , &,  та  . Причому спочатку визначаються значення підформул, що містять одну пропозиціональну зв'язку, потім значення підформул, що містять дві пропозиціональні зв'язки, і т.д. Нарешті, обчислюється значення підформули з максимальним числом зв'язок, тобто саму формулу А.

Побудуємо як приклад таблицю істинності для формули (р   p) & ( р  р). У складі цієї формули міститься одна пропозиціональна змінна — р. Є два набори значень р: <і> та <х>. Підформулами даної формули є р,  р, (р   р), ( р  р) і, нарешті, сама формула (р   p) & ( р  р). Будуємо таблицю істинності згідно з вищеописаним алгоритмом:

р  p (р   p) ( р  р) (р   p) & ( р  р)

________________________________________________________

і х х і х

х і і х х

В першому стовпчику таблиці вказані всі допустимі інтерпретації р - єдиної змінної в нашій формулі. Значення  р визначаються по рядках, виходячи із значень р за визначенням заперечення. Значення (р   р) встановлюються за визначенням імплікації, виходячи із значень р і  p в кожному із рядків: в першому рядку антецедент р істинний, а консеквент  р хибний, тому (р   р) набуває значення х, а в другому - антецедент хибний, а консеквент істинний, тому (р   р) приймає значення і. Значення ( р  р) встановлюються, виходячи із значень антецедента  р і консеквента р: в першому рядку антецедент хибний, а консеквент істинний, тому ( p  p) прийме значення і; в другому рядку антецедент істинний, а консеквент хибний, тому ( р  р) прийме значення х. Значення всієї формули (р   р) & ( р  р) обчислюється виходячи із значень (р   р) і ( р  р) за визначенням кон'юнкції: в першому рядку перший член кон'юнкції хибний, а в другому хибний другий її член, отже, в обох рядках формула (р   p) & ( р  р) прийме значення х.

Таблиця для формули А може бути побудована більш компактним чином: виписуються окремо лише елементарні підформули А (для них задаються всі можливі набори значень), значення ж складних підформул вказуються під їх головними знаками у складі формули А. Значення самої формули А вказуються під її головним знаком, і даний стовпець таблиці називається результуючим. Таблиця для формули (р   р) & ( р  р) в більш компактному виді виглядає наступним чином:

р (р   p) & ( р  р)

___________________________

і х х х х і

х і і х і х

(1) (4) (2) (6) (3) (5)

В стовпчику (1) вказані можливі інтерпретації змінної р, в стовпцях (2) і (3) - значення, які при цих інтерпретаціях приймає формула  р, в стовпці (4) - значення (р   р), в стовпці (5) - значення ( р  р). Значення всієї формули (р   р) & ( р  р) вказані в стовпчику (6), який і є результуючим.

Закони класичної логіки висловів. Використовуючи метод побудови таблиць істинності, можна ефективно вирішувати питання про те, чи є яка-небудь формула мови класичної пропозиціональної логіки законом цієї теорії. Нагадаємо, що законом деякої логічної теорії називається формула, яка приймає значення "істина" при будь-яких інтерпретаціях (допустимих в цій теорії) нелогічних символів, що входять до складу даної формули.

Законом класичної логіки висловів є формула, що приймає значення "істина" при будь-яких наборах значень пропозиціональних змінних, що входять у неї. Формули даного типу називають також тотожно-істинними. В результуючому стовпчику таблиці для тотожно-істинної формули в кожному рядку маємо і. Прикладом тотожно-істинної формули є  (p & q)  ( p   q).

Твердження "Формула А є тотожно-істинною" будемо записувати скорочено таким чином: "|= А".

Крім множини тотожно-істинних формул корисно також виділити ще два класи формул мови класичної логіки висловів: клас тотожно-хибних і клас формул, що виконуються.

Формула називається тотожно-хибною, якщо і тільки якщо вона приймає значення "хиба" при будь-яких наборах значень пропозиціональних змінних, що входять до її складу (тобто у всіх рядках таблиці істинності для цієї формули). Прикладом тотожно-хибної формули є (р   р) & ( p  р).

Формула називається такою, що виконується, якщо і тільки якщо вона приймає значення "істина" принаймні при одному наборі значень пропозиціональних змінних, що входять до її складу (тобто хоча б в одному рядку таблиці для цієї формули). Прикладом формули, що виконується є  ((p &  q)  (q  r)).

З останнього визначення випливає, що будь-яка тотожно-істинна формула є такою, що виконується, оскільки існує набір значень, при якому вона приймає значення "істина". Тому тотожно-істинна формула  (p & q)  ( р   q) відноситься також і до класу таких, що виконуються.

Тепер засобами класичної пропозиціональної логіки можна визначити, чи є довільний вислів природної мови логічно істинним, логічно хибним або логічно недетермінованим (визначення цих термінів дані у методичних вказівках "Предмет і основні поняття логіки"). Для цього необхідно виразити логічну форму даного вислову в мові пропозиціональної логіки і побудувати таблицю істинності для отриманої формули. Якщо у всіх рядках таблиці формула прийме значення "істина", то вихідний вислів є логічно істинним відносно даної теорії. Якщо у всіх рядках формула прийме значення "хиба", то вислів логічно хибний. Якщо ж в деяких рядках формула прийме значення "істина", а в деяких - значення "хиба", то вислів є логічно недетермінованим щодо класичної логіки висловів.