МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"

ЛОГІКА ВИСЛОВІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до вивчення з курсу "Логіка"

для студентів усіх спеціальностей та форм навчання

Затверджено

на засіданні кафедри філософії

Протокол № 4 від 7 листопада 2005 р.

Львів - 2005

Логіка висловів: Методичні вказівки до вивчення з курсу "Логіка" для студентів усіх спеціальностей та форм навчання / Укл. Б.Т.Домбровський, Сігунов Г.В., Шадських Ю.Г. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2005. — 16 с.

Укладачі Домбровський Б.Т., канд. філос. наук, доц.

Сігунов Г.В., канд. філос. наук, доц..

Шадських Ю.Г., канд. філос. наук, доц..

Відповідальний за випуск Петрушенко В.Л., д-р філос. наук, проф.

Рецензенти Одарченко М.М., асистент,

Мазур Л.О., канд. філос. наук, доц.

Логіка висловів

1. Пропозиціональні зв'язки. Теорією, яка буде зараз розглянута, є класична логіка висловів, або пропозиціональна логіка. При виявленні логічних форм контекстів природної мови в цій теорії відбувається абстрагування від змісту простих висловів, від їх внутрішньої структури, а враховується лише те, за допомогою яких сполучників і в якому порядку прості вислови зчленовуються у складні.

Цей рівень аналізу логічних форм припускає, по-перше, наявність у формалізованій мові нелогічних символів тільки одного типу - параметрів, якими можуть заміщатися прості вислови природної мови. Ці параметри будемо називати пропозиціональними змінними і вживати для них символи - р, q, r, s, ... . По-друге, всі логічні символи цієї формалізованої мови також належать до однієї категорії, вони утворюють з однієї або декількох формул нову формулу, а їх прототипи в природній мові, наприклад, "і", "або", "якщо ... то", є сполучниками, що утворюють з одних висловів інші, складніші. Логічні символи вказаного типу називатимемо пропозиціональними зв'язками.

Логіка висловів (пропозиціональна логіка) - це логічна теорія, мова якої містить один тип нелогічних символів - пропозиціональні змінні, а також один тип логічних символів - пропозиціональні зв'язки.

Особливості мови логіки висловів визначають специфіку її законів, а також те, в яких випадках, згідно цієї теорії, з множини формул логічно слідує деяка формула. Законами пропозиціональної логіки будуть форми таких висловів, логічна істинність яких обумовлена логічними властивостями сполучників, що містяться в них, і не залежить від властивостей інших логічних термінів. Правильними, з огляду логіки висловів, є лише такі висновки, в яких наявність логічного слідування між засновками і висновками обумовлена тими ж чинниками.

Перш ніж буде здійснена систематична побудова мови логіки висловів, слід докладніше розглянути питання про те, які логічні символи є в її алфавіті. Набір пропозиціональних зв'язок в алфавіті мови логіки висловів може бути різним. Перелічимо найбільш вживані зв'язки і вкажемо їх логічне значення.

Заперечення (будемо використовувати для нього символ "") є унарною зв'язкою, яка з однієї формули утворює іншу, більш складну формулу, тобто з довільної формули А формулу  A. Логічний сенс вислову форми  A такий: в ньому стверджується відсутність положення справ, що описуються в А.

Сказане означає, що якщо положення справ, яке описується в А, відсутнє (тобто якщо А хибне), то вислів  А відповідає дійсності (тобто -  A істинне). Якщо ж положення справ, що описується в А, має місце (тобто якщо А істинне), то твердження  A не відповідає дійсності (тобто " A хибне). Вказаний смисл в природній мові має вираз "невірно, що". Долучаючи його до довільного хибного вислову (наприклад, "2>3"), ми одержуємо істинний вислів ("Невірно, що 2>3"), а з істинного (наприклад, "3>2") цей вираз утворює хибний вислів ("Невірно, що 3>2"). Таким чином, знаку "" в природній мові відповідає "невірно, що".

Кон'юнкція (будемо використовувати для неї символ "&") є бінарною зв'язкою, тобто вона з двох формул утворює нову, більш складну формулу: з довільних формул А і В - формулу (А & В). У висловах виду (А & В) стверджується одночасна наявність двох положень справ - описуваного в А і описуваного у В.

Таким чином, якщо обидва положення справ насправді мають місце (тобто якщо і А, і В істинні), то кон'юнктивний вислів (А & В) є істинним. Якщо ж принаймні одне (а може бути, і обидва) положення справ відсутнє (тобто якщо А або ж В хибні), то твердження (А & В) не відповідає дійсності (тобто є хибним).

Формулювання кон'юнктивних висловів в природній мові звикло здійснюється за допомогою союзу "і". Наприклад, вислів "2 - просте число, і 2 - парне число" істинний, оскільки обидві його частини - істинні вислови. Хибними є наступні вислови: "3 - просте число, і 3 - парне число" (друга його частина - хибний вислів); "4 - просте число, і 4 - парне число" (перша його частина - хибний вислів); "9 - просте число і 9 - парне число" (обидві його частини помилкові). Слід пам’ятати, що смисл кон'юнкції може в деяких випадках адекватно виражатися в природній мові за допомогою інших термінів: "а", "але", "як..., так і", "а також" і т.п.

Диз'юнкція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з довільних формул А і В нову формулу (А  В). Вислови даної логічної форми виражають думку про наявність принаймні одного з двох положень справ - описуваного в А або описуваного у В. При цьому не виключається випадок їх одночасної появи. Цій зв'язці в природній мові звикло відповідає сполучник "або".

Вислів виду (А  В) істинний, якщо істинним є хоча б один вислів - А або В (або ж одразу обидва). Якщо ж обидва вислови - як А, так і В - одночасно хибні, то складний вислів (А  В) хибний.

В деяких контекстах природної мови союз "або" має інший сенс. Так, у вислові "Сміливець або сидить в сідлі, або тихо спить в сирій землі" виражається думка про наявність тільки однієї з двох ситуацій, тобто стверджується їх альтернативність, неможливість одночасного здійснення цих положень справ. В цих випадках сполучник "або" не може бути замінений диз'юнкцією (символом ""), йому відповідатиме інша зв'язка, яка називається строгою (або альтернативною) диз'юнкцією.

Строга диз'юнкція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна логічна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). Вислів форми (А  В) виражає твердження про наявність рівно однієї з двох ситуацій - описаної в А або описаної у В. Даний вислів приймає значення "істина" в двох випадках: 1) коли А істинно, а В хибно, 2) коли А хибно, а В істинно (тобто коли А і В мають різні значення). Якщо ж значення А і В співпадають (тобто коли вони одночасно істинні або одночасно хибні), то (А  В) приймає значення "хиба".

Матеріальна імплікація (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). В імплікативних висловах цієї форми стверджується, що у разі, коли має місце положення справ, описуване в А, має місце також і положення справ, описуване у В. Логічний зміст (А  В) можна еквівалентним чином переформулювати так: не має місця ситуація, при якій положення справ, описуване в А, існує, а положення справ, описуване у В, відсутнє. Звідси випливає, що при істинному А і хибному В вислів форми (А  В) хибний. В решті випадків він істинний, тобто він істинний, якщо: 1) А і В істинні, або 2) А хибне, а В істинно, або 3) А і В хибні.

В природній мові терміном, що найбільш адекватно виражає значення матеріальної імплікації, є сполучник "якщо ..., то". У висловах виду "Якщо А, то В", а також у формулах (А  В) вираз А називають антецедентом, а вираз В консеквентом. В реченнях природної мови антецедент не завжди передує консеквенту. Наприклад, антецедент вислову "Більшість власників акцій банкрутує, якщо їх курс падає" – це його друга частина, а консеквент - перша.

Матеріальна эквіваленція (використовуватимемо для неї символ "") - бінарна зв'язка, що утворює з формул А і В формулу (А  В). Вислови виду (А  В) стверджують, що положення справ, описані в А і В, або одночасно мають місце, або одночасно відсутні. Зміст такого роду висловів можна виразити інакше: в них стверджується, що за наявності положення справ, описаного в А, має місце також і положення справ, описане у В, і навпаки, за наявності другого положення справ має місце і перше. Вислови виду (А  В) істинні у випадках, коли А і В одночасно істинні або ж одночасно хибні, тобто коли їх значення співпадають. Якщо ж значення А і В різні, то (А  В) хибне. По смислу зв'язці "" в природній мові відповідають сполучники "якщо і тільки якщо", "тоді і тільки тоді, коли".

Перелічені пропозиціональні зв'язки мають одну важливу особливість. Значення утворених з їх допомогою складних виразів залежать тільки від значень тих виразів, з яких утворені складні. Інакше кажучи, для того, щоб визначити, чи є вислови виду A, (А & В), (А  В), (А  В), (А  В), (А  В) істинними або хибними, необхідно і достатньо знати, якими - істинними або хибними - є їх частини А і В. Дійсно, якщо вислів А істинний, то  A виявляється хибним; якщо ж А хибне, то  A буде істинним. Якщо відомо, наприклад, що А і В одночасно істинні, то вислови вигляду (А & В), (А  В), (А  В), (А  В) приймуть значення "істина", а (А  В)- значення "хиба".

Таким чином, знаючи значення А і В, можна однозначно встановити значення виразів, утворених з них за допомогою зв'язок , &, , , . Це дозволяє розглядати дані символи як знаки функцій особливого типу: можливими аргументами і значеннями цих функцій є об'єкти "істина" і "хиба". Такі функції називають функціями істинності, а пропозиціональні зв'язки, які служать знаками цих функцій, - истиннісно-функціональними.

Існує нескінченна кількість функцій істинності, хоча для кожного п число п-місних функцій істинності (функцій від п аргументів) скінчене і дорівнює 2^2п . Наприклад, кількість одномісних функцій - 4, двомісних - 16, трьохмісних - 256.

Для більшості функцій істинності в природній мові немає виразів, які б їх представляли. Однак є принципова можливість ввести власний символ - пропозиціональну зв'язку - для довільної функції вказаного типу в алфавіт формалізованої мови.

Виникає питання, чи повинні в алфавіті мови логіки висловів міститися всі істиннісно-функціональні зв'язки. Виявляється, що необхідність в цьому відсутня. Річ у тому, що одні функції істинності можуть бути виражені за допомогою інших. Більш того, є такі скінчені набори функцій, за допомогою яких може бути виражена будь-яка функція істинності. Такі набори називають функціонально повними.

Однією з функціонально повних систем є множина функцій, представлених зв'язками , &,  та . Покажемо, наприклад, яким чином з їх допомогою можна виразити функції, що відповідають зв'язкам  і . Логічне значення вислову виду (А  В) можна рівносильним чином передати за допомогою складного вислову (А &  B)  ( A & В). Користуючись умовами істинності і хибності висловів, що містять , &,  можна переконатися в тому, що вираз виду (А &  B)  ( A & В) прийме значення "істина" тільки в двох випадках: 1) коли А істинно, а В хибне, 2) коли А хибне, а В істинне. Але точно в тих же випадках істинним є і вислів виду (А  В). Таким чином, функція істинності, що відповідає строгій диз'юнкції, може бути виражена за допомогою функцій заперечення, кон'юнкції і нестрогої диз'юнкції.

Логічне значення вислову виду (А  В) рівносильне значенню виразу (А  В) & (В  А). Дані вирази приймають значення "істина" в одних і тих же випадках: 1) коли А і В істинні, 2) коли А і В хибні. Таким чином, функція еквіваленції може бути виражена за допомогою функцій кон'юнкції та імплікації.

Іноді в алфавіт мови логіки висловів разом з пропозиціональними зв'язками, подібними до розглянутих вище, включають інші логічні знаки - "┬" (символ логічного закону, константа істиності) і "" (символ суперечності, константа хибності). Символу "┬" в природній мові відповідає логічно істинний вислів, а символу "" - логічно хибний вислів.

Знаки "┬" і "" є формулами мови логіки висловів, причому "┬" постійно приймає значення "істина", а "" значення "хиба". Вказані символи можна потрактувати як нульарні пропозиціональні зв'язки, тобто як логічні символи, що утворюють формули з такої кількості інших формул, число яких дорівнює нулю. Можна вважати також, що "┬" і "" аналогічно іншим вищепереліченим зв'язкам є знаками функцій істинності, тільки функції, які вони представляють, є нульмісними (функціями, у яких немає аргументів).

До числа істиннісно-функціональних не належить зв'язка, що виражає умовний зв'язок між ситуаціями (для цієї зв'язки використовують переважно символ "" і називають її релевантною або номологічною імплікацією). Вислів виду (А  В) істинний, якщо положення справ, описуване в А, обумовлює наявність ситуації, описаної у В. Вислів (А  В) на відмінність від (А  В) може виявитися хибним не тільки у разі, коли А істинно, а В хибно. Так, при істинних А ("3>2") і В ("Волга впадає в Каспійське море") вислів (А  В) хибний, хоча в інших випадках, коли А і В істинні, (А  В) може виявитися і істинним, наприклад, якщо А є вислів "Мідь - метал", а В - "Мідь проводить електричний струм".