4. Определение размеров геометрических элементов решетки.

Размеры геометрических элементов решетки, которые войдут в уравнения равновесия, определим из расчетной схемы опоры. Так как решетка представляет собой равносторонние треугольники, то длины всех стержней равны l, а расстояние между параллельными стержнями равно lsin60.

7.5. Определение реакций в опорах.

Стержневая система имеет две опоры: шарнир неподвижный, в котором возникает две реакции R₁ и R₂, шарнир подвижный, в котором возникает одна реакция R₃.

Для определения этих реакций составим три уравнения равновесия:

Х= R₂+Р₁+Р₆=0,

Y= R₁-Р₂-Р₉-Р₃-Р₈-Р₄-Р₇-Р₅+R₃=0,

М_А= Р₁lsin60+Р₂l0,5+Р₉l+Р₃l1,5+Р₈l2+Р₄l2,5+Р₇l3+Р₅l3,5+Р₆lsin60- R₃l4 =0

Используя исходные данные и полученные уравнения, находим реакции в опорах:

R₃=(Р₁lsin60+Р₂l0,5+Р₉l+Р₃l1,5+Р₈l2+Р₄l2,5+Р₇l3+Р₅l3,5+Р₆lsin60)/ l4

R₃= 314,2 кН

R₁=Р₂+Р₉+Р₃+Р₈+Р₄+Р₇+Р₅-R₃

R₁= 205,9 кН

R₂=-Р₁-Р₆

R₂= -100 кН

Знак минус в полученных реакциях говорит о том, что в действительности отрицательные реакции направлены в противоположенную сторону нарисованным на рис.7.6.

Рис. 7.6 Расчетная схема опоры

7.6. Определение усилий в стержнях.

Фермой называют конструкцию, составленную из стержней. В задачах статики предполагают, что по концам стержней расположены шарниры, которые называют узлами. Это позволяет считать, что силы, действующие в стержнях, всегда направлены вдоль стержней.

Если оси всех стержней расположены в одной плоскости, то ферма называется плоской.

Простейшие плоские фермы образуются последовательным присоединением к шарнирному треугольнику узлов, причем каждого двумя стержнями, не лежащими на одной прямой.

Простейшие плоские фермы – геометрически неизменяемые и статически определимые конструкции, которые удовлетворяют условию

S = 2К - 3,

где S – число стержней; К – число узлов.

Для любой статически определимой фермы, можно составить 2К уравнений равновесия, с помощью которых определяют опорные реакции R₁ R₂ R₃ и продольные силы N_i в стержнях от действия внешних сил Р_i. Внешние силы – сосредоточенные силы, приложенные в узлах.

Опорные реакции определены в предыдущем разделе, составляя три уравнения равновесия для всей фермы в целом.

Для определения продольных сил в стержнях фермы используют метод вырезания узлов и метод сечений (метод Риттера).

При вырезании узлов все неизвестные продольные силы N в стержнях фермы считаются растягивающими, т. е. направленными от узлов. Если после решения уравнений равновесия какая-либо продольная сила окажется отрицательной, то она является сжимающей и направлена к узлу.

Выделение узлов применяют последовательно к каждому узлу, начиная с узла, в котором сходятся два стержня. Это позволяет использовать два уравнения равновесия в виде сумм проекций всех сил, приложенных к каждому узлу, на оси выбранной системы координат. Однако при расчете фермы методом вырезания узлов продольные силы в ряде стержней можно найти только после предварительного определения продольных сил в других стержнях. В связи с этим случайная ошибка в определении одной силы приводит к неправильному определению сил в целом ряде стержней.

Усилия в стержнях определяем, используя метод вырезания узлов.

Вырезаем узел А (рис.7.7).

60° °

Рис.7.7. Узел А

Спроецируем все силы, действующие на узел А, на ось Х:

Х=N₁cos60+N₁₅+R₂=0

Спроецируем все силы, действующие на узел А, на ось У:

Y=R₁+ N₁sin60=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₁= - R₁/sin60

N₁= 237,7кН

N₁₅ = -R₂-N₁cos60

N₁₅ = -18,85 кН

Вырезаем узел В (рис.7.8).

60° °

Рис.7.8. Узел В

Спроецируем все силы, действующие на узел В, на ось Х:

Х=Р₁+N₂-N₁cos60+N₃cos60=0

Спроецируем все силы, действующие на узел В, на ось У:

Y= -Р₂-N₁cos30-N₃cos30=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₃= (-Р₂-N₁cos30)/cos30

N₃= -237,7 кН

N₂ = - Р₁+N₁cos60-N₃cos60

N₂ = 137,7 кН

Вырезаем узел С (рис.7.9).

60° °

Рис.7.9. Узел С

Спроецируем все силы, действующие на узел С, на ось Х:

Х= -N₁₅-N₃cos60+N₄cos60+ N₁₄=0

Спроецируем все силы, действующие на узел С, на ось У:

Y= N₃cos30+N₁₄cos30-Р₉=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₁₄= (Р₉-N₃cos30)/cos30

N₁₄= 399,4 кН

N₄ = (N₁₅+N₃cos60-N₁₄)/cos60

N₄ = -1074 кН

Вырезаем узел Д (рис.7.10).

60° °

Рис.7.10 Узел Д

Спроецируем все силы, действующие на узел Д, на ось Х:

Х= -N₂-N₄cos60+N₆cos60+ N₅=0

Спроецируем все силы, действующие на узел Д, на ось У:

Y= -Р₃-N₄cos30-N₆cos30=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₆= (-Р₃-N₄cos30)/cos30

N₆= -138,6 кН

N₅ = N₂+N₄cos60-N₆cos60

N₅ = -330,1 кН

Вырезаем узел Е (рис.7.11).

60° °

Рис.7.11 Узел Е

Спроецируем все силы, действующие на узел Е, на ось Х:

Х= -N₁₄-N₆cos60+N₇cos60+ N₁₃=0

Спроецируем все силы, действующие на узел Е, на ось У:

Y= N₆cos30+N₇cos30-Р₈=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₇= (Р₈-N₆cos30)/cos30

N₇= 138,6 кН

N₁₃ = N₁₄+N₆cos60-N₇cos60

N₁₃ = 260,8 кН

Вырезаем узел F (рис.7.12).

60° °

Рис.7.12 Узел F

Спроецируем все силы, действующие на узел F, на ось Х:

Х= -N₅-N₇cos60+N₉cos60+ N₈=0

Спроецируем все силы, действующие на узел F, на ось У:

Y= -Р₄-N₇cos30-N₉cos30=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₉= (-Р₄-N₇cos30)/cos30

N₉= -138,6 кН

N₈ = N₅+N₇cos60-N₉cos60

N₈ = -191,5 кН

Вырезаем узел G (рис.7.13).

60° °

Рис.7.13 Узел G

Спроецируем все силы, действующие на узел G, на ось Х:

Х= -N₁₃-N₉cos60+N₁₀cos60+ N₁₂=0

Спроецируем все силы, действующие на узел G, на ось У:

Y= N₉cos30+N₁₀cos30-Р₇=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₁₀= (Р₇-N₉cos30)/cos30

N₁₀= 277,1 кН

N₁₂ = N₁₃+N₉cos60-N₁₀cos60

N₁₂ = 52,94 кН

Вырезаем узел H (рис.7.14).

60° °

Рис.7.14 Узел H

Спроецируем все силы, действующие на узел H, на ось Х:

Х= -N₈-N₁₀cos60+N₁₁cos60+ P₆=0

Спроецируем все силы, действующие на узел H, на ось У:

Y= -Р₅-N₁₀cos30-N₁₁cos30=0

Используя полученные уравнения и исходные данные, определяем неизвестные усилия в стержнях.

N₁₁= (-Р₅-N₁₀cos30)/cos30

N₁₁= -438,8 кН

Полученные данные по усилиям в стержнях сводим в таблицу: [кН]

N1	N2	N3	N4	N5	N6	N7	N8
237,7	137,7	-237,7	-1074	-330,1	-138,6	138,6	-191,5
N9	N10	N11	N12	N13	N14	N15
-138,6	277,	-438,8	52,94	260,8	399,4	-18,85

Знак минус указывает, что усилия в стержнях направлены в противоположную сторону нарисованным на схемах узлов.

Из таблицы видно, что максимальное усилие, возникающее в стержнях равно:

N_max= 1074 кН