Оптимизация

Одна из наиболее злободневных проблем анализа систем, рассматриваемых в сициально-экономических задачах, — это проблема выбора критерия, т.е. вопрос о том, каким образом следует сравнивать между собой различные реализации поведения систем. К счастью, динамические процессы, наблюдаемые в физических и биологических системах, часто протекают по вполне определенным законам, которые, как правило, являются следствием различных принципов минимума или законами сохранения. Однако перенос этих законов на объекты социальной природы в лучшем случае носит искусственных характер и, более того, часто просто невозможен. Поскольку цель нашего курса состоит в изучении структуры систем независимо от вопросов оптимизации, можно позволить себе роскошь оставить в стороне проблему выбора критерия. Тем не менее, для того, чтобы продемонстрировать значимость этой проблемы, рассмотрим простой пример, иллюстрирующий ситуацию, когда выбор различных критериев приводит к качественно различным стратегиям управления.

Предположим, что динамика системы описывается одномерным линейным дифференциальным уравнением dx/dt = u(t), x(0) = c, где u(t) — вход, или функция управления. Предположим, далее, что доступные резервы управления ограничены следующим образом:

|u(t)| ≤ 1 для всех 1 t ≥ 0

(Подобная ситуация возникает, например, при управлении автомобилем, и тогда функция u(t) есть скорость движения.)

Одним из критериев для данного процесса может быть перевод системы из начального состояния с в некоторое заданное состояние, например, x = 0 за минимальное время. Хорошо известно, что решение этой задачи имеет вид:

u(t) = +1, c < 0, u(t) = -1, c > 0

т.е. релейное управление является оптимальным. Предположим теперь, что мы стремимся минимизировать квадратичный функционал этого вида вида. Можно показать, что в этом случае оптимальный закон управления имеет вид u(t) = th(T-t)⋅x(t),

и он может быть реализован в виде обратной связи или синтеза.

Полученные результаты показывают, что изменение критерия качественно меняет характер решения. В первом случае мы имеем экстремальные управления, переключающиеся с одной границы на другую в зависимости от начального состояния. Во втором случае оптимальный закон управления строится по ходу развития самого процесса и не имеет никаких точек разрыва. Важно отметить, что, хотя динамика системы остается неизменной, выбор иного критерия приводит к качественному изменению оптимального управления.

Функция полезности как критерий оценки товаров

Отношение предпочтения, рассмотренное в предыдущем параграфе, является весьма неудобным инструментом изучения потребительского выбора. Оно является больше качественной категорией и не приспособлено для проведения количественных исследований. Поэтому нужен другой механизм, который, с одной стороны, был бы адекватен данному отношению предпочтения, то есть отражал бы все его основные свойства, с другой стороны, являлся бы численным индикатором отношения предпочтения. Таким механизмом и является функция полезности. С функцией работать удобнее, чем с отношением предпочтения, хотя последнее имеет и определенные преимущества. Если отношение предпочтения отражает "склонность" или "желание" потребителя, то функция полезности отражает понятие "выгодности" товаров. Полезность понимается как мера благосостояния и как критерий правильности принимаемых решений. Источником полезности является потребление товара. Термин "полезность" менее индивидуален, чем термин "предпочтение". Действительно, труднее угадать, что человеку хочется, чем определить что ему полезней, так как факт "х полезнее у", в отличии от "х предпочтительнее у", можно оценить по числовой шкале.

Функция полезности должна быть построена с учетом всех тех объективных и субъективных условий, которые влияют на предпочтение потребителя. Например, полезность денег оценивается не только их покупательской способностью. Так, с большой степенью уверенности можно утверждать, что полезность десяти заработанных долларов больше, чем те же десяти долларов найденных случайно на улице. Для наркомана "полезность" набора товаров тем выше, чем больше в нем содержится героина, а для нормального человека - наоборот. При построении функции полезности все эти нюансы, связанные с понятием полезности, учитываются тем обстоятельством, что эта функция строится сугубо на основе отношения предпочтения, то есть каждому отношению предпочтения соответствует своя функция полезности.

Перейдем к строгим определениям.

Определение 3.1. Пусть в   определено отношение предпочтения   . Любая функция   такая, что   тогда и только тогда, когда   , называется функцией полезности, соответствующей этому отношению предпочтения.

Если интересы потребителя ограничиваются множеством   , то функция полезности определяется на этом множестве,   .

В терминах функции полезности отношение безразличия   задается равенством   .

Всегда ли можно представить отношение предпочтения функцей полезности? Можно ли исходя из предпочтения   найти функцию u, удовлетворяющую определению 3.1 ? Отвечая на этот вопрос приведем без доказательства следующее утверждение (доказательство можно найти, напр., в [ 18 ]).

Теорема 3.1. Для любого отношения предпочтения, определенного и непрерывного в   , можно построить представляющую его (непрерывную) функцию полезности  .

Оказывается. что для люього непрерывного отношения предпочтения можно построить целое семейство функций полезности. Этот факт сформулируем в виде следующего утверждения.

Теорема 3.2. Пусть  - функция полезности, представляющая отношение предпочтения   . Для любой строго возрастающей функции   сложная функция (суперпозиция)   является функцией полезности, так же представляющей это отношение предпочтения   .

В качестве упражнения, для двух строго возрастающих функций   проверьте справедливость этой теоремы.

Заметим, что для потребителя все эти функции полезности равнозначны. Он не в состоянии отдать предпочтение одной из них перед множеством возможных других, так как все они отражают одно и то же отношение предпочтения. Различие этих функций касается различных "масштабов" измерения полезности и не является принципиальным.

Так как функция полезности должна быть адекватной отношению предпочтения, то для нее можно сформулировать свойства а₄), а₅), а₆). Например, в терминах функции полезности свойство ненасыщаемости читается так:

a^'₅) для любых   неравенство   влечет неравенство   и неравенства   ,   влекут   .

Из этого определения видно, что в случае ненасыщаемости функция u не достигает своего максимума на множестве Х: для любого  найдется   , который имеет большую полезность чем х.

Аналогом свойства а₆) является вогнутость функции полезности:

a^'₆) для любых    .

Если в условии вогнутости имеет место строгое неравенство, то функция полезности называется строго вогнутой. В этом случае, как будет показано в § 3.3 , выбор потребителя определяется однозначно.

Преимущество функции полезности против отношения предпочтения состоит, в частности, в том, что для анализа потребительского выбора можно использовать мощный аппарат дифференцирования. Пусть функция полезности и дифференцируема и

Частная производная (3.2.1) называется предельной полезностью товара вида i. Это есть полезность, получаемая от "дополнительной" доли товара вида i:

Поэтому неравенство (3.2.1) можно интерпретировать так: для любого набора товаров   возрастание потребления товара вида i при постоянном уровне потребления других товаров приводит к увеличению полезности. Таким образом, (3.2.1) - это условие ненасыщаемости, написанное для дифференцируемой функции полезности. Забегая вперед скажем, что именно предельная полезность товара является определяющим цену товара фактором. Здесь нет противоречия с рыночным механизмом ценообразования, так как при прочих фиксированных условиях спрос на товар определяется его полезностью.

Предположим теперь, что функция u дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные производные. Для такой функции свойство строгой вогнутости выполнено, если матрица Гессе

отрицательно определена (см. (2.3.6)). Тогда, в частности, выполнены условия:

Это неравенство говорит о том, что предельная полезность   товара уменьшается по мере того, как продукт потребляется. Неравенство(3.2.1) и (3.2.2) отражают хорошо известный в экономической теории закон об убывающей предельной полезности (закон Госсена).

С понятием функции полезности неразрывно связано понятие кривых безразличия, имеющее широкое применение в математической теории потребления.

Определение 3.2. Кривой безразличия для данного набора товаров   называется геометрическое место точек   , которые находятся в отношении безразличия с этим набором х, то есть множество   .

Так как для всех точек из этого множества полезность одна и та же, то кривые безразличия задаются уравнениями  , где с - любая const. Таким образом, кривая безразличия математически представляется как линия уровня функции полезности. Поэтому для любой функции полезности существует бесконечное множество кривых безразличия (для разных const) и они заполняют все пространство   , образуя так называемую карту безразличия.

Приведем примеры некоторых, наиболее часто применяемых функций полезности и виды их карт безразличия. Эти функции, как показала практика, при определенных условиях достаточно объективно отражают предпочтение потребительского выбора.