II. Предел функции. Непрерывность функции
2.1. Понятие предела функции
Число А называется
пределом
функции
в точке х0
(или при х
х0),
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех х
х0,
удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Обозначают
2.2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Функция
называется бесконечно
малой при
,
если
.
Функция
называется бесконечно
большой
при
,
если
или
.
2.3. Теоремы о пределах
Первый замечательный
предел 
Второй замечательный
предел 
Правило Лопиталя.
Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в окрестности
точки x0
и обращаются в нуль в этой точке:
.
Пусть
в окрестности точки x0.
Если существует предел
,
то
.
2.4. Односторонние пределы
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А1
называется пределом
функции y=
f(x)
слева в
точке х0,
если для любого числа
существует число
такое, что при х
выполняется неравенство
.
Предел слева записывают так:
или коротко:
(обозначение Дирихле).
Аналогично
определяется предел функции справа.
Число А2
называется пределом
функции y=
f(x)
справа
в точке х0,
если для любого числа
существует число
такое, что при х
выполняется неравенство
.
Предел справа записывают так:
.
Коротко предел справа обозначают
f(xo+0)=A2.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
2.5. Непрерывность функции
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если предел функции при
равен значению функции при
:
.
А также говорят,
функция
называется непрерывной
в точке
,
если она в этой точке определена, и
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции, т. е.
.
Существует теорема о непрерывности функции в точке. Функция y= f(x) непрерывна в точке x0, тогда и только тогда, когда функция имеет конечные пределы в точке x0 и предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке.
Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Для элементарных функций справедливы следующие положения:
область непрерывности элементарной функции совпадает с её областью определения, т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения
элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого-либо промежутка, но не во всех его точках
элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.
Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0
называется
точкой
разрыва первого рода
функции
,
если в этой точке существуют конечные
пределы функции слева и справа
(односторонние пределы), т.е
и
.
При этом:
если А1=А2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва (рис.6)
если
,
то точка х0
называется
точкой
конечного разрыва(
рис.7).
Величину
называют скачком
функции
Рис. 6. График функции с устранимым разрывом
Рис. 7. График функции с конечным разрывом
Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен ∞ (рис.8).
Рис. 8. График функции с точкой разрыва 2-го рода
Вычисление предела функции методом непосредственной подстановки
Примеры:
1. Найти
Решение:
1 способ.
Применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=1 запишем:
2 способ.
Поскольку исходная
функция есть алгебраическая сумма
элементарных функций, непрерывных в
области определения, а, следовательно,
и при x=1,
то согласно определению непрерывности
функции
имеем
Ответ:
2. Найти
Решение:
При x→3 числитель дроби стремится к числу 4, а знаменатель к числу 2.
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=3 можно записать
Ответ: 2
3. Найти
Решение:
При x→2 числитель дроби стремится к 0, а знаменатель к числу 10
Следовательно, применяя теоремы о пределах с последующей подстановкой предельного значения x=2 можно записать
Ответ: 0