Тема 1.4 Игры

Задача 47. Игра заключается в том, что два игрока одновременно «выбрасывают» несколько пальцев правой руки, т. е. от 1 до 5 пальцев каждый. Если сума пальцев чётная, то первый игрок выигрывает сумму, равную суммарному количеству «выброшенных» пальцев. Если же сумма «выброшенных» пальцев нечётная, то первый игрок проигрывает аналогичную сумму. Составить платёжную матрицу этой игры.

Задача 48. Решить игру, заданную матрицей, указав цену игры:

1 3 0 5

3 4 2 3

0 -1 1 4

Задача 49. Найти верхнюю и нижнюю цену игры, заданной матрицей:

4 6 9 10 12

11 7 -3 2 -16

8 -2 6 -5 15

Задача 50. Решить в смешанных стратегиях игру, заданную матрицей:

а) 2 5 б) -3 4 в) 3 - 4

6 1 3 0 -5 - 1

Результаты пояснить графически.

Задача 51. Решить графически игру, заданную матрицей:

а) 4 -5 5 8 в) 2 6 г) 2 3

0 1 - 4 2 -1 4 4 1

б) 8 5 3 6 7 8 3 0 3

4 7 9 5 8 9 0 -2 5

Задача 52. Решить игру, заданную платёжной матрицей, сведя её к задаче линейного программирования:

а) 3 - 4 2 б) 2 3 1 4

0 - 1 1 1 5 4 3

2 2 -3 2 6 2 1

4 1 -1

Задача 53. Решить игру, представленную платёжной матрицей А, предварительно отбросив все доминируемые стратегии:

8 6 4 4 3

5 3 2 2 1

А = 4 7 7 3 5

5 3 2 2 1

1 4 4 2 3 .

Задача 54. Предприятие может выпускать три вида продукции А, Б и В, получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь, может принимать одно из четырёх состояний: 1; 2; 3 или 4. Элементы следующей матрицы характеризуют прибыль, получаемую предприятием при выпуске каждой продукции при любом конкретном состоянии спроса:

Определить оптимальные пропорции выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью неопределённым, и гарантируя при этом получение максимальной средней величины прибыли при любом состоянии спроса. Решение задачи свести к задаче линейного программирования.

Задача 55. Фирма производит пользующиеся спросом платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы на одно платье составляют 7 ден. ед, а на один костюм 28 ден. ед. Цены от реализации изделий равны соответственно 15 и 50 ден. ед. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях тёплой погоды 1950 платьев и 610 костюмов, а в условиях прохладной погоды 630 платьев и 1050 костюмов. В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы, обеспечивающую ей гарантированный доход от реализации продукции при любых погодных условиях. Составить платёжную матрицу игры и решить игру графически.

Задача 56. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трёх видов: А, В и С. И реализация, а следовательно, и получаемая магазином прибыль зависят от вида товара и от состояния спроса. Предполагая, что последний может характеризоваться тремя состояниями (1, 2 и 3) и учитывая, что спрос связан с изменением моды и прогнозирование его невозможно, определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия получения средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:

20 15 10

16 12 14

13 18 15 .

Задача 57. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учётом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены матрицей:

8 4 2

2 8 4

1 2 8 .

Определить оптимальный план продажи товаров.

Задача 58. Розничное торговое предприятие разработало несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учётом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели прибыли предприятия даны в матрице:

2 1 3

1 2 3

2 3 1 .

Найти оптимальную стратегию предприятия и соответствующую ей наибольшую гарантированную прибыль.

Задача 59. Торговая фирма на каждый предстоящий день решает вопрос об объёмах оптовой закупки скоропортящихся продуктов двух наименований: А и В.

По статистике наблюдений при пасмурной погоде на каждые а1 = 2 ед. товара А реализуется в1 = 3ед. товара В. При ясной солнечной погоде товары реализуются в пропорции а2 = 5 ед. товара А к в2 = 1 ед. товара В.

Оптовая цена товара А равна с1 = 4 руб., а оптовая цена товара В составляет d1 = 3 руб. Розничные цены товаров А и В равны соответственно с2 = 7 руб. и d2 =6 руб.

Товары закупленные на сумму S = 9775 руб. полностью удовлетворяют спрос при любой погоде.

Ежедневные издержки на реализацию продукции составляют Е = 1900 руб.

Оставшийся в конце дня нереализованный товар фирма сдаёт на пищевую переработку по ценам на f = 75% ниже оптовой.

Администрацию фирмы интересует, в каких объёмах следует сделать оптовые закупки товаров, чтобы максимизировать гарантированную среднюю прибыль в условиях полной неопределённости предстоящей погоды.

Требуется составить игровую математическую модель описанной ситуации в виде платёжной матрицы и решить игру. Какой будет ожидаемая прибыль фирмы при выборе найденной оптимальной стратегии, если учесть информацию о том, что вероятность завтрашнего дождя Р = 40%. Какой будет новая оптимальная стратегия и новая ожидаемая прибыль фирмы при учёте этой информации.

Задача 60. Администрация некоторой фирмы ведёт переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Платёжная матрица, отображающая интересы договаривающихся сторон, имеет вид:

Матрица описывает прибыль профсоюзов (игрок 1) и затраты администрации (игрок 2). Найти решение игры, оптимальное для обеих сторон, предварительно отбросив доминируемые стратегии.

Задача 61. В приближении посевного сезона фермер Иванов имеет четыре возможности: выращивать кукурузу; выращивать пшеницу; выращивать овощи или использовать землю под пастбища.

Выгода, связанная с указанными возможностями, зависит от количества осадков, которые можно разделить на 4 категории: сильные осадки; умеренные осадки; незначительные осадки; засушливый сезон. Платёжная матрица в тыс. руб. оценивается следующим образом:

Что должен посеять Иванов? Используйте различные критерии принятия решения: Вальда, Сэвиджа, Гурвица (с параметром 0,5), Лапласа (считая все состояния природы равновероятными).

Задача 62. Возможно строительство четырёх типов электростанций: А1 (тепловых), А2 (приплотинных), А3 (безшлюзовых), А4 (шлюзовых). Состояния природы обозначим: Р1, Р2, Р3, Р4. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей:

5 2 8 4

А = 2 3 4 12

8 5 3 10

1 4 2 8

Для принятия решения о том, какого типа электростанцию нужно строить используйте различные критерии принятия решения: Вальда, Сэвиджа, Гурвица (с параметром 0,5), Лапласа (считая все состояния природы равновероятными).