Тема 1.2 Системы массового обслуживания (смо)

Задача 13. Имеется одноканальная телефонная линия. Заявка, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков в час. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора t_обсл = 2,5 мин. Определить показатели эффективности работы СМО: долю отказов, абсолютную и относительную пропускную способность линии.

Задача 14. Имеется трёхканальная телефонная линия. Заявка, поступившая в момент, когда все n= 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков в час. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора t_обсл = 2,5 мин. Определить показатели эффективности работы СМО: вероятности всех состояний, долю отказов, абсолютную и относительную пропускную способность, среднее число занятых обслуживанием каналов, коэффициент загрузки каналов, среднее число свободных от обслуживания каналов, коэффициент простоя каналов.

Задача 15. Имеется магазин с одним продавцом. Предполагается, что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек в час. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/час. Определить:

1. среднее время пребывания покупателя в очереди;

2. среднюю длину очереди;

3. среднее число покупателей в магазине;

4. среднее время пребывания покупателя в магазине;

5. вероятность того, что в магазине не окажется покупателей;

6. вероятность того, что в магазине окажется ровно 4 покупателя.

Задача 16. Ответить на вопросы задачи 3, при условии, что в магазине 2 продавца. Оценить эффективность работы системы.

Задача 17. Автозаправочная станция имеет n = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трёх автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 8 автомашин в час. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 10 автомашин в час. Определить параметры системы: вероятности всех состояний системы, долю потерянных требований, абсолютную и относительную пропускную способность, среднее число заявок в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число занятых каналов, среднее время пребывания заявки в системе.

Задача 18. Автозаправочная станция имеет n = 3 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более двух автомашин одновременно. Если в очереди находятся m = 2 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью λ = 30 автомашин в час. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 20 автомашин в час. Определить параметры системы: вероятности всех состояний системы, долю потерянных требований, абсолютную и относительную пропускную способность, среднюю длину очереди, среднее число свободных каналов. Использовать размеченный граф системы.

Задача 19. Бригада ремонтников из n = 3 человек обслуживает m = 5 станков. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,2 раз в час. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 0,4 станка в час. Используя размеченный граф данной замкнутой системы, найти вероятности всех её состояний, среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, среднее число свободных от обслуживания ремонтников.

Задача 20. В вычислительный центр с тремя ЭВМ поступают заказы на вычислительные работы. Если все три ЭВМ заняты, то заказы не принимаются и переадресуются в другие ВЦ. Среднее время работы с одним заказом 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 требований в час. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы ВЦ.

Задача 21. В порту имеется 1 причал для разгрузки судов. Интенсивность простейшего потока судов λ = 0,4 судов/сутки. Среднее время разгрузки – двое суток. Ограничений на очередь нет. Найти вероятность того, что разгрузки ожидают не более двух судов. Оценить показатели эффективности работы причала.

Задача 22. На автомойку приезжают в среднем 9 автомобилей в час. Имеется 4 места для ожидания на стоянке. Среднее время мойки автомобиля 20 минут. Имеется 1 место для мойки. Средняя стоимость мойки автомобиля 100 руб. Определить среднюю величину потери выручки в течение 12 часов рабочего дня.

Задача 23. Анализируется работа склада некоторой компании. Известно, что на склад этой компании (для получения купленной продукции) приходит в среднем 40 клиентов в час. На одного клиента кладовщик тратит в среднем 8 мин. При занятости всех кладовщиков остальные клиенты ожидают получения купленной продукции в очереди. Законы распределения вероятностей всех случайных величин можно принять экспоненциальными.

Определите, сколько необходимо кладовщиков, чтобы очередь состояла в среднем не более чем из двух человек. Найти среднее время ожидания клиентов в очереди, если выполнены условия предыдущего пункта. Установите также, какую долю времени при этом кладовщики будут заняты, и сколько будут простаивать.

Задача 24. Для условий задания 11, когда уже определено минимально необходимое число кладовщиков, чтобы очередь была в среднем не более чем из двух человек, для анализа эффективности работы складов понадобился показатель средних ожидаемых затрат при различных возможных вариантах оплаты кладовщиков. Определите суммарные ожидаемые затраты на оплату работы всех кладовщиков (в месяц), если:

а) Оплачивать работу каждого кладовщика по дням из расчёта 200 руб. за день.

б) Оплачивать работу каждого кладовщика по затраченным на обслуживание клиентов часам (без оплаты его простоев) из расчета 20 руб. за час такой работы.

в) Оплачивать работу каждого кладовщика по количеству обслуженных им клиентов из расчета 3 руб. за каждого клиента.

Задача 25. В интернет-кафе «Арена» 5 компьютеров. Один час работы на компьютере стоит 60 руб., поэтому сюда приходит довольно много людей, но такое кафе не единственное в городе, и, если все места заняты, клиент уходит. Каждый час в кафе заходит около 12 человек, и, если есть свободное рабочее место, клиент его занимает и работает в среднем 2 часа, причем поток посетителей простейший, а время их работы в сети можно считать экспоненциальным. Кафе работает 10 часов в день, чистая прибыль владельца составляет 5 % выручки. Найдите: вероятность того, что, когда вы придете в это кафе, все места будут заняты; вероятность того, что все компьютеры будут свободны; среднее число занятых компьютеров; среднюю прибыль владельца кафе в месяц.

Задача 26. На таможенную службу столицы в случайные моменты времени прибывают трейлеры с плодоовощной продукцией, причем моменты прибытия трейлеров образуют пуассоновский поток с интенсивностью

λ = 1 ч^-1. Соответствующий терминал этой базы позволяет разгружать одновременно не более одного трейлера. Время разгрузки машин – случайная величина β, для которой среднее ожидаемое значение составляет М(β) = 0,8 ч, а дисперсия – D(β) = 0,24. Согласно контракту база оплачивает потери времени на простой машин: 200 руб. в час на одну машину.

Затраты, связанные с оплатой труда персонала терминала, составляют 600 руб. в час. Анализируется целесообразность увеличения персонала терминала в два раза. При этом можно считать, что производительность соответствующих работ увеличится вдвое, но и затраты на персонал увеличатся вдвое. Определите, выгодно ли предприятию базы (с точки зрения суммарных денежных издержек на простой машин и на оплату труда персонала) такое предложение. Для этого найдите следующие показатели эффективности работы терминала базы, считая, что он работает круглосуточно: среднее число машин на базе; среднее время пребывания на базе; среднесуточные денежные издержки на простой машин; суммарные среднесуточные издержки работы терминала (до и после увеличения численности персонала).

Задача 27. В ресторан быстрого питания гости приходят простейшим потоком с интенсивностью 18 человек в час. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону. Вся бригада ресторана обслуживает в среднем 24 заказа в час. Сколько времени в среднем приходится стоять в очереди каждому гостю, каковы средняя длина очереди, период занятости системы и её загрузка? Длительность обслуживания заявки прямо пропорциональна стоимости заказа; средний чек – 100 руб. Какую среднюю выручку получает предприятие каждый час?

Задача 28. Ресторан быстрого питания работает в условиях предыдущего задания. Директор хочет уволить двух человек из бригады. Тогда поток обслуживания останется простейшим, но среднее число обслуживаемых клиентов снизится до 19 человек в час. Каждому работнику платят 30 руб. в час.

Выясните, выгодно ли предложение директора с точки зрения увеличения доходов (сальдо выручки и затрат на оплату труда). Приемлемо ли это с точки зрения клиентов (время ожидания в очереди не должно превышать 15 мин)? Как изменится соотношение длительности простоев и периодов занятости?

Задача 29. В магазине «24 часа» установлено, что поток его покупателей подчиняется пуассоновскому закону распределения с интенсивностью 60 человек в час. В этом магазине стоит 1 кассовый аппарат. Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром λ = 1 мин^-1. Каждый обслуженный клиент приносит в среднем 50 руб. прибыли. Если очередь превышает 3 человека, то покупатель уходит из магазина. Следует ли установить второй кассовый аппарат, и как изменится прибыль в этом случае? Определите основные характеристики СМО: среднюю длину очереди; среднее время ожидания начала обслуживания; среднее время пребывания в системе покупателя; загрузку системы; период занятости системы.

Задача 30. На базу в течение 12 часов приходят под погрузку товаров 24 автомашины. Обслуживание автомашин осуществляется с 4 погрузочных площадок, среднее время погрузки 30 минут. Если все площадки заняты, то автомашина уходит необслуженной. Содержание одной погрузочной площадки 28 тыс. руб. в год (300 рабочих суток в году). Убытки от потери 1 клиента 2 тыс. руб. в сутки. Определить вероятности всех возможных состояний системы и оценить, выгодно ли увеличить количество погрузочных площадок при стохастическом потоке автомашин.