
- •Глава 1. Элементы теории множеств 6
- •Глава 2. Элементы математической логики 27
- •Глава 3. Элементы логики предикатов 68
- •Глава 4. Элементы теории алгоритмов 102
- •4.1.Практическое занятие №14. Способы описания алгоритмов. 102
- •4.2.Практическое занятие №15. Виды алгоритмов. 105
- •Глава 1. Элементы теории множеств Практическое занятие №1. Операции над множествами
- •1.Перечислением элементов множества.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Задайте множество а перечислением его элементов:
- •3. Пусть (X, y ) - координаты точек плоскости. Укажите штриховкой множествa a b и a b:
- •Практическое занятие №2. Операции над множествами Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна в двух вариантах расположения следующие множества:
- •2. Вычислите, используя диаграммы Эйлера-Венна и формулу включений и исключений:
- •Представьте заштрихованные области формулами теории множеств
- •Практическое занятие №3. Равносильные преобразования множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Докажите тождества:
- •2. Представьте заштрихованные области формулами теории множеств, упрощая их, если возможно.
- •3. Упростите выражения:
- •Практическое занятие №4. Отображение и отношение множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Для отображения f: {10,20,30,40} {а,б,в,г}, заданного рисунком, найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f - 1(б), f - 1 ({а,в}), f - 1 ({б,в,г}).
- •3. Выясните, к какому типу относятся отображения f1: а в и f2: а в.
- •4. Пусть f: {1,2,3} {1,2,3}, g: {1,2,3} {1,2,3}, h: {1,2,3} {1,2,3} – отображения, показанные на рисунке:
- •Практическое занятие №5. Отображение и отношение множеств Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Установите биективное отображение между множеством а и натуральным рядом чисел.
- •2. Вычислите мощность множеств:
- •Контрольные вопросы по теме «Элементы теории множеств»
- •Глава 2. Элементы математической логики Практическое занятие №6. Основы алгебры логики
- •1. Элементы логики высказываний
- •2. Равносильные преобразования формул алгебры логики
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Переформулируйте высказывания, если необходимо. Разбейте составные высказывания на простые и запишите их с помощью логической символики. Постройте таблицу истинности.
- •2. Вычислите значения выражений:
- •3. Постройте таблицы истинности формулы алгебры логики:
- •Практическое занятие №7. Основы алгебры логики Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Упростите формулы алгебры логики:
- •2. Определите, какие из формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:
- •3. Докажите равносильности, используя законы логики:
- •4. Докажите равносильности, используя законы логики:
- •Практическое занятие №8. Логические функции
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Найдите суперпозицию функций для формул:
- •2. Постройте канонические формы для функций:
- •3. С помощью теоремы о полноте установите полноту системы:
- •4. Булевская функция f(X, y, z) задана таблично. Представьте эту же функцию формулой логики и функциональной схемой:
- •Практическое занятие №9. Применение алгебры логики
- •1. Минимизация логических функций
- •2. Применение булевых функций для анализа и синтеза дискретных устройств. Упрощение и преобразование комбинационных схем
- •3. Применение булевых функций для анализа и синтеза релейно-контактных схем. Упрощение и преобразование релейно-контактных схем.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Минимизируйте методом Квайна - МакКласски булеву функцию f(x1, x2 ,x3, x4) , заданную таблицей истинности:
- •2. Укажите функцию f(x1, x2, x3, x4), реализуемую схемой из функциональных элементов:
- •3. Требуется произвести анализ и, если возможно, упрощение переключательных схем, приведенных на следующих рисунках:
- •Практическое занятие №10. Применение алгебры логики
- •2 . Необходимо спроектировать (синтезировать) электрическую цепь, с 5-ю переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно 4переключателя.
- •3. Необходимо спроектировать (синтезировать) электрическую цепь, чтобы в спортзале можно было включать и выключать свет при помощи любого из 3-х выключателей.
- •Контрольные вопросы на тему: «Логические основы информатики»
- •Глава 3. Элементы логики предикатов Практическое занятие №11. Понятие предиката.
- •1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1.Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
- •2. Изобразите геометрически множество истинности одноместных предикатов g(X) и p(X), если:
- •3. Изобразите геометрически множество истинности предиката p(X), решив систему неравенств:
- •4. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката a(X, y).
- •5. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката q(X,y).
- •Практическое занятие №12. Операции над предикатами и кванторами.
- •1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Формулы логики предикатов.
- •1. Приведите формулу логики предикатов к приведенной форме:
- •3. Приведите формулу логики предикатов к предваренной нормальной форме XyP(X, y) XyQ(X, y).
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Применение логики предикатов.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Запишите аксиомы положительных величин на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
- •5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •Глава 4. Элементы теории алгоритмов
- •4.1.Практическое занятие №14. Способы описания алгоритмов.
- •1. Опишите в словесной форме алгоритм вычисления значения логической функции, реализующую операцию конъюнкции:
- •2. Опишите пример 1 в словесно-формульной форме.
- •3. Опишите пример 1 в виде текста программы на алгоритмическом языке.
- •Опишите пример 1 в виде блок-схемы
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Опишите алгоритмы в словесной форме:
- •2. Опишите алгоритмы в словесно-формульной форме:
- •4.2.Практическое занятие №15. Виды алгоритмов.
- •1. Опишите графическим способом алгоритм расчета нормы расхода гербицида (л/га) по формуле: .
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •2. Опишите алгоритмы в графической форме. Даны положительные вещественные числа X и y. Присвойте целой переменной z:
- •1. Опишите графическим способом алгоритм вычисления значения выражения:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •4. Даны действительные числа X, y и z. Вычислите:
- •Практическое занятие №16. Виды алгоритмов.
- •1.Составьте блок-схему алгоритма вычисления среднеквадратической взвешенной по формуле:
- •2.Составьте блок-схему алгоритма вычисления суммы кубов последовательности, состоящей из положительных чисел до первого введенного отрицательного числа.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №17. Машина Тьюринга.
- •1. Пусть требуется добавить 1 к натуральному числу n, представленному на ленте машины Тьюринга в двоичной системе счисления, то есть в алфавите {0,1}.
- •3. Составьте программу машины Тьюринга, подсчитывающую число вхождений символа a в слово р в алфавите {a, b, c}.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Постройте машину Тьюринга,
- •3. Постройте машину Тьюринга, осуществляющую перевод натурального числа n
- •4. Постройте машину Тьюринга,
- •Рекомендуемая литература
Глава 3. Элементы логики предикатов Практическое занятие №11. Понятие предиката.
Предикатом арности n (n-арным, или n-местным предикатом) называют функцию от n переменных Q(x1, x2, … ,xn), определенную на декартовом произведении множеств: X1X2 …Xn и принимающую значения из множества {И, Л}.
Примеры выполнения заданий
1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
P(x) = "x кратно 2", где x [1, 14)
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
P(x) |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
2. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката P(x,y) = 1/4x 1/4y”, если x, y (-2, 5];
Построим график прямой: 1/4y =1/4x; y = x;
Проверим точку выше графика прямой y = x, например, с координатами (-1; 2). Подставим координаты в неравенство: 1/4 (-1) 1/4(2) – это ложно, поэтому |
5
-2 |
область истинности предиката расположена ниже прямой, включая ее точки (т.к. нестрогое неравенство).
Задания для самостоятельного выполнения
1.Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|