1. Предмет курса «Прикладная физика». Связь между механикой и физикой. Значение механики для современной техники. Обзор моделей механики. Число степеней свободы. Материальная точка, абсолютно твердое тело, сплошная среда.

Назначение приклада: дать введение в мех. деформ. тв. тела, рассм. инженерные метода расчета и инж. подходу к расчету, дать основу для некоторых дальнейших курсов.

Механика – это искусство построения машин, наука о перемещ. тел в простр. и взаимодействии их друг с другом, техническая наука, явл. частью физики и прикладной математики. Это наука о простейшей форме движ. материи. (u << c). Механич. движ. – изменение с течением времени положения тел отн. друг друга.

Механика делится на: статика, кинематика, динамика. Различают: механику матер. точки; мех. системы мат. точек; мех. абс. тв. тела; мех. сплошной среды; общую мех.; мех. жидкостей и газов; мех. деформируемого тв. тела. Мех. деф. тв. тела включает: теорию упругости, пластичности, ползучести, вязкой упругости, строительную мех., пластин и оболочек, теорию устойч-сти, механику разрушения, мех. композиционных материалов, теорию колебаний упругих систем, теорию надежности, конструкционную точность и т. д., и все это – механика материалов и конструкций - приклад.Модели механики (объект А наз. моделью объекта В, если А отображает наиболее сущ. (с точки зрения данного рассм-я) св-ва объекта В): модель подобия (макет) - объекты имеют одинаковую физ. Природу модель-аналог - имеют разную физ. природу, но опис. аналогич. дифф. ур-ями (колебания) теоретич. модели - теория, гипотеза, расчетная схема, т.е. научная абстракция изуч. Объектов мат. модель – совокуп-ть мат. ур-ий, опис. наиболее существ. св-ва объект.Число степеней свободы – число независ. параметров, кот. однозначно определяют положение всех точек системы (ее конфигурацию) в каждый фикс. момент t.Различают системы: с конечн. числом степ. своб. m, с  счетным, сплошные среды (распред, или континуальная система).Мат. точ. – тело, имеет массу, исчезающе малые размеры для данной системы (3 степ. свободы (n = 3)). При налож. связей n может . Одно-сторонние связи: x² + y² + z²  l, двусторонние связи: x² + y² + z² = l (для маятника на веревке и стержне).Система мат. Точ. – совокупность мат. точек, движ. и положение которых взаимосвязано (n=3N-s). s граничений. Абсолютное тв. тело – расстояние между двумя любыми точками – неизменно. n = 6 (3 линейных 3 угловых).Сплошная среда – полностью заполняет пространство, молекул. строением пренебрег, расстояние между точками ее может изменяться в процессе движ. Модели сплошной среды: идеальный газ, вязкий газ, ионизир. газ, идеальная несжимаемая жидкость, сжимаем. без трения, вязкая, упругая жидкость, линейно-упругое тв. тело, нелинейное упругое, упругое-пластическое, вязкое-упругое и т. д.

2. Момент вектора относительно оси и его свойства. Теорема Вариньона для системы векторов, сходящихся в одной точке. Рассмотрим закрепленный вектор и некоторую ось . Через точку О на оси проведем плоскость . Из точки О опустим перпендикуляр на направление .Опр. Моментом вектора относительно оси наз-ся произведение модуля на длину перпендикуляра r, опущенного из точки пересечения оси с пл-тью на нап-е век-ра . (знак с учетом выбора сист. коорд.)Св-ва момента вектора отн. заданной оси:1. мом. вект. отн. зад. оси не зависит от выбора точки О на оси 2. При определении мом. вект. отн. зад. оси, вектор можно трактовать как скользящий вектор (сопряж. св-ва).Т. Вариньона: Если векторы сход-ся в одной точке, то момент суммы векторов может быть определен, как  моментов каждой составляющей: .

3. Момент вектора относительно точки. Моменты вектора относительно координатных осей, как составляющие момента вектора относительно точки. Преобразование момента относительно полюса. Момент вектора отн. осей: Представим вектор , где X, Y, Z это коорд. . - единичные орты. Рис. нарисуй (длины проекций на оси - ). Итак, получим ур-ия: ;; (1),где x, y, z – длины проекций вектора на коорд. оси. Момент вектора отн. точки: Рассм. закрепленный вектор . – радиус-вектор положения вектора . , . Опр. моментом вектора отн. точки (полюса) наз. векторное произвед. векторов и : ^. (2)Сравнивая (1) и (2) можно сделать вывод: Моменты вектора отн. коорд. осей равны проекциям момента вектора отн-но начала коорд. на соотв. оси.Св-ва мом. вектора отн. полюса:1. Момент вектора отн. полюса , если , или , или . 2. При опр. мом. век-ра отн. полюса в-р можно трактовать, как скользящий (велич. мом. не изм., если вектор перенести вдоль линии его действия).3. Преобраз. момента вектора при переносе полюса.Т. Вариньона для системы векторов, сход. в одной точке отн. одного полюса: .

4. Главный вектор и главный момент системы закрепленных векторов. Классификация случаев приведения системы векторов. Дано , . Гл. вект-ом сист. век-ов наз-ся век-р - главный вектор. - главн. момент.1-й инвариант: - инв. в др. сист. коорд. ;-неинвариант/.2-й инвариант:скаляр , .Приведение векторов - операция замены сист. векторов некоторой эквивалентной сист. состоящей из главного вектора приложенного к данной точке и главного момента. - элементы приведения системы векторов. Классификация :1. ; – это справедливо для любой точки приведения. Система эквивалентна 0.2. ; – тогда для любой точки приведения .3. – сущ. Множе-ство точек для которых . Говорят, что система сводится к главному вектору. Геом. место точек для кот. выполняется условие , есть – центральная прямая.4. при этом не сущ. Множ-во точек для которых .Для любого центра приведения система сводится к гл. вект. и гл. мом. и .Замечание: можно выбрать такой центр приведения, такой центр в пространстве, когда векторы (коллинеарные) (приведение к винту).Условия при кот. система векторов сводится к главному вектору:1. 2. - взаимно ортогональны.

5. Аксиомы классической механики. Основные понятия, входящие в аксиомы. Динамика материальной точки и системы материальных точек.Соотношения между осн-ми понятиями мех-ки опр-я аксиомами или осн. законами движения, котор. Сфомулировал Ньютон:1- закон инерции; 2 - , - связь силы и ускорения; 3 - . Принцип относит-сти Галилея: Все декартовые системы координат движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно эквивалентны между собой с точки зрения определения сил, действующих на материальное тело. при .Сист. коорд. связанные этим преобразованием образуют множество инерциальных систем.Одну из них можно условно считать неподвижной, т.о. вводится дополн-й постулат, что сущес-т хотя бы одна инерциальная сист. отсчёта.Движение мат. точки в инерциальной системе координат подчиняется 2-му закону Ньютона.

; - скорость; - ускорение.

Масса мат.точки – одна из основных хар-стик материи, кот. является мерой её инерц. и гравитац. свойств. Сила – мера взаимодействия мат. тела или мат. тела и поля, приводящая к появлению ускорения. или или .Действие отдельных материальных точек описывается 1-м и 2-м законом Ньютона, действие 2 материальных точек описывается 3-м законом Ньютона.Основная задача динамики точки: состоит в определении равнодей-щей сил выз-щей заданное движение мат.точки с известной массой. Задача сводится к определению ускорения из известных уравнений движения. ; ; . Задаются силы, прилож-е к точке: , , , . Найти ., . , , тогда: , , – дифференциальные ур-ия движения для мат. точ.Дифф. уравнения движение системы мат. точек:– главный вектор внешних сил, –главный вектор внутренних сил..

6. Несвободные системы материальных точек. Связи и их классификация.

Система свободная – если на перемещение и скорости всех точек системы не наложено никаких ограничений кроме требования конечности и дифф-сти. Система несвободная – если наложены какие-либо ограничения на координаты и скорости, эти ограничения называются связями.Условия связи должны выполняться для любых действующих на систему сил. Каждая связь определяется одним ур-нием (условием).1. Связи, условия которых задаются в форме неравенств, называются односторонними (неудерживающие). Дана гибкая нерастяжимая длиной L нить с координатами концов: и . .2. двухсторонняя связь .Дан стержень длиной L, .3. Связи вида , где ; S – кол-во связей. В условия связей скорости мат. точ. не входят, такие точки называют – геометрическими.1) и 2) – геом.4. Кинематические связи – связи, в условия которых входит скорость. , .Возможен случай когда, ур-ние связи допускает интеграл не содержащий скоростей, тогда совокупность всех геом. и инегр-мых кинемат. связей образуют голономные связи.5. Связь стационарна, если время t не входит явно в уравнение системы (связи). В противном случае связь называют нестационарной.6. Связь идеальна, если её реакции не совершают работы на перемещениях, совместимых со связями, в противном случае связь неидеальна.

7. Основные понятия статики. Условия равновесия системы материальных точек.

Рассмотрим сист. не свободных точек ; .Движение системы описывается . - главный вектор всех активных сил, - главный вектор всех реактивных сил, прилож. к j – ой массе. Активные силы – заданы, реактивные – надо найти.Опр. мат. точка нах. в равновесии, если равен нулю главный вектор всех активных и реактивных сил .

Сист. мат. точек нах. в равновесии, если каждая ее точка нах. в равн.Опр. сист. нах. в покое, если все ее точки неподвиж.Теорема: если сист. нах. в равновес., то и любая ее подсистема тоже нах. в равн.Теорема: если сист. нах. в равн, то все ее точки совершают равномерн. прямолин. движ. отн. инерц. сист. коорд.Состояние равновесия – динамич. хар-ка, сост. покоя – кинематич. хар-ка (понятия отождетв. при 0-вых нач. усл.).Необх. усл. равновес. сис. мат. точек т. здесь много ф-ул и преобраз, все они рассм. все силы для кажд. точки 1, …, N.В итоге получ. условие: , где - главный вектор всех внешних активных и реактивных сил, прилож. к системе.Итак: 1. необх. усл.: , или , , .Теорема: Если сист. нах. в равн., то главный вектор всех внешних активных и реактивных сил, прилож. к системе = 0.2. необх. условие. равенство нулю гл. момента всех внеш. сил . Разложи для каждой точки сист., получишь, что все члены, содержащ. моменты внутр. сил взаимоуничтож., или , или , , , или , , . Теорема: если сист. нах. в равновес., то главный момент всех внеш. активных и реактивн. сил отн. произвол. полюса = 0.

8. Необходимые условия равновесия абсолютно твёрдого тела.

(они же и достат.). n = 6. Эти условия F^ = 0, G^ = 0. Абс. тв. тело нах. в равн. тогда и только тогда, когда главн. вектор и главн. момент всех внешн. активн. и реакт. сил = 0. Т. равновес. АТТ не наруш, если действ. на него силы перенести по линии их действия (скользящ. векторы), но это утв. может быть ошибочно при кол-ве тел в сист.  1.Частные случаи: сист. сход. сил (в одну точку): G^ = 0 (всегда), условие: F^ = 0. Парралельн. сист. сил. F_j^ || OZ. Тогда условия: F_x = 0, G_x = 0, G_y = 0. Плоская сист. сил: F_j^  OХY. Тогда условия F_y = 0, F_z = 0, G_x = 0. Модификац.: плоская сист. сил, сход. в 1-ой точке: условия: F_y = 0, F_z = 0. плоская || сист. сил: условия: F_y = 0, G_x = 0. Система из N АТТ: n = 6N – s в R³, и 3N – s в R². Классификац. сист. АТТ. Системы с n  1 наз. геометрич. изменяемыми или механизмами. Сист. с n = 0 наз. конструкциями или структурами. Сист., реакц. внеш. и внутр. связей в котор. можно найти, используя лишь ур-ия статики, наз. статически определимыми. Обобщенная система коорд. отлич. от ДСК тем, что ДК явл. независ, а ОК связаны с учетом связей (???). ОК не обяз. иметь четкий геометрич. смысл.

10. Принцип Даламбера для сист. матер. точек. Общее ур-е динамики Даламбера-Эйлера. Распространим ПВП на случ. движения сист. Ур-ия динамики мех. сист. формально сосвадают с уравн. равновес. этой сист., если к действит. внеш. силам, внутр. силам и реакц. связей добавить фиктивные (Даламберовы) силы инерции. F_j^(i) + f_j^(i) + R_j^ + I_j^ = 0, j = 1, 2, …, N, I_j^ = - m_j(d²r/dt²). Движ. сист. происх. так, что в любой момент t  работ всех внеш. и внутр. сил, реакц. связей и даламберовых сил на любых виртуальн. перем. = 0. Итак, самое Общее ур-е динамики Даламбера-Эйлера: _j=1^N(F_j^ + F_j^ + R_j^ + + I_j^)r_j^ = 0, j = 1, 2, …, N. Н. Е. Жуковский: "Если в некотор. момент. t остановить систему и вместе с тем приложить к ее точкам силы инерции не изменяя активные силы, то сист. будет находиться в равновесии и реакции связей останутся такими, какими они были во время движения".

9. Понятие о виртуальных перемещениях. Формулир-ка принц. вирт. перем. Принцип вирт. перем. для сист. с идеальн. связями. Вирт. или возможными перемещ. наз. любая совокупность  малых перемещ. точек… При этом не треб. удовл. ур-ям движ. r_j^~ = r_j^ + r_j^. f_k(r₁^, r₂^, …, r_N^; t) = 0, k = 1, 2, …, s. (1), f_k(r₁^~, r₂^~, …, r_N^~; t) = 0, k = 1, 2, …, s. (2). Движ. r_j^ отлич. от действ.  малых движ. dr_j^, котор. удовл. ур-ию и (1), и (2). r_j^ - только (2). Принцип вирт. перемещ.: будем рассм. сист. со стационарн. связями, а также предполагаем, что активн. силы явно от времени не зависят. _j=1^N(F_j^ + R_j^)r_j^ = 0, j = 1, 2, …, N (3). Равнство (3) выражает ПВП. Это рав-во заменяет всю геометтрич. статику. Известоно, что F^dr^ = d'A (d'A – действит. элементарная работа (не явл. полным дифф.), по аналогии F^r^ = 'A – вирт. работа силы F^ на вирт. перемещ. r^. Сист. с двухсторонними связями нах. в равновес. тогда и только тогда, когда  вирт. работ всех активн. и реакт. сил на любых вирт перемещ. = 0. ПВП для сист. с идеальн. связями. Связь наз. идеальн., если работа реакции на любых ВП = 0. R_j^r_j^ = 0.  _j=1^NF_j^r_j^ = 0, j = 1, 2, …, N. (4). Важным св-вом сил реакции связей явл. то, что их полная работа при малом отклонении системы от полож. равн. =0. Применение ПВП к АТТ. Рассм. абс. тв. свободное тело, на котор. действ. F₁^, F₂^, …, F_N^. Если сист. нах. в равн., то сист. удовл. ур-ию _j=1^NF_j^r_j^ = 0, j = 1, 2, …, N. Т. Шаля: Всякое перемещ. свободного АТТ из одного полож в другое может быть получено посредством поступательного и вращат. движений. r_j^ = r₀^ + [^ _x r_j^], (5). r_j^ - радиус-вектор j – ой точки, r₀^ - вектор поступат. перемещ., ^ - вектор вращения отн. какого либо полюса. Подставим (5) в (4). _j=1^N[r_j^ x F_j^] = 0  G^ = 0. Отсюда след, что взятые в . слагаемые должны обращ. в 0, т. к. r₀^ и ^ явл. независ. Замеч.: ПВП дает необх. и достат. усл. равновес. сил в каждой точке матер. сист. и в то же время необх. но недостат. усл. равн. для всей сист. целом. Для АТТ эти усл. будут и достат.

11.Общие предположения о свойствах материалов. Внешние и внутренние силы. Метод сечений.Нас будет интересовать не отдельные частицы, поведение материала как целого. Реальное тело(вещ-во) заменяем некоторым идеальным (моделью). В дальнейшем – модель сплошной среды.

Применяемые гипотезы: 1)о сплошности 2)об однородности 3)об изотропности 4)о жесткости 5)о линейности

Внешние силы. Классификация Наиболее существенные признаки:1)-место расположения точек приложения сил

2)по характеру изменения сил в процессе их приложения.

Внутренние силы. Метод сечений В общей механике была введена аксиома связи. В механике деформирующегося тела введем понятие внутренних связей, т.е. связей, обеспечивающих целостность тела.

Прием, позволяющий перенести внутренние силы в разряд внешних, называется методом сечений. Выберем некоторый центр приведения(полюс). Обычно выбирается центр тяжести поперечного сечения. Эти силы можно привести к главному вектору и моменту.=0;=0 ∑x=0;∑y=0;∑z=0 mom_x=0;mom_y=0;mom_z=0

12.Тензор напряжений. Симметрия тензора напряжений. Связь между тензором напряжений и вектором напряжений по произвольной площадке, проведенной через данную точку.Нормальные и касательные напряжения на взаимно ортогональных площадках.Казалось бы, что для полной характеристики напряженного состояния ₁=_n1;₂=_n2;_k=_nk

Представим вектор _x в виде разложения:

_x=σ_xx+σ_xy+σ_zx

_y=σ_xy+σ_yy+σ_zy =>

_z=σ_xz+σ_yz+σ_zz

Эта матрица соответствует некоторой тензорной величине и называется тензором в данной точке.σ_xx;σ_yy;σ_zz – нормальные напряжения. Остальные - касательные напряжения, они равны. Первый индекс – ось действия, второй – направление нормали к площадке, по кот. действуют эти напряжения. Четкий механический смысл приведенное правило имеет только для растяжения/ сжатия. Компоненты тензора напр. На площадке с отрицательной внешней нормалью считаются положительными, если они направлены в сторону, противоположную соотв. оси. Симметрия тензора напряжения (Закон парности).Тензор напряжения является симметричным: σ_jk = σ_kj. Для доказательства закона парности необходимо составить уравнения равновесия статики для элемента с действующими на него напряжениями на площадках с положит. и отриц. нормалями. F=σS.Связь: Через произвольную точку сплошной среды можно провести множество площадок, по которым действуют различные напряжения P_j. Задание тензора напряжений в данной точке позволяет вычислить вектор напряжения P_j , действующий по любой площадке с нормалью _j , проходящей через данную точку. Если задан , то можно определить напряженное состояние точки. Составляя уравнения статики для выделенного, получаем ₁=σ₁₁n₁+σ₁₂n₂+σ₁₃n_{3 2}=σ₂₁n₁+σ₂₂n₂+σ₂₃n_{3 3}=σ₃₁n₁₊σ₃₂n₂+σ₃₃n₃ - Формулы Коши _j=σ_jkn_{k ; j}= Формулы Коши выражают напряженное состояние в точке полностью определенно, если заданы нормальные и касательные напряжения (тензор) по трем взаимно перпенд. площадкам, проведенным через эту точку.Нормальные напряжения, действующие на каждую площадку.Вектор _nn нормального напряжения, действующего по наклонной площадке определим как сумму проекций векторов p₁,p₂ и p₃ на направление нормали .p_nn=p₁n₁+p₂n₂+p₃n₃ подставим в эту формулу формулы Коши и учтем, что σ_jk=σ_kj тогда:_nn=σ₁₁n₁²+σ₂₂n₂²+σ₃₃n₃³+2σ₁₂n₁n₂+2σ₁₃n₁n₃+2σ₂₃n₂n₃

Гл напряжение и главные площадки.Для определения макс и мин значения напряжения p_nn применим метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача отыскания относительного экстремума.n₁²+n₂²+n₃²=1 , используя необходимое условие экстремума( равенство нулю частных производных) получаем систему однородных уравнений:(σ₁₁-σ)n₁+σ₁₂n₂+σ₁₃n₃=0 σ₂₁n₁+(σ₂₂-σ)n₂+σ₂₃n₃=0 σ₃₁n₃+σ₃₂n₂+(σ₃₃-σ)n₃=0 эта сист. имеет решение, ежели определитель равен 0. Получаем кубическое относительно σ уравнение, которое подчиняется след.правилу присвоения индексов: σ₁σ₂σ₃ Площадки, по которым действуют эти напряжения, назыв. главными. На них касательные напряжения = 0. Механ. истолкование главных напряжений.В каждой точке сплошной среды существуют 3 взаимно перпенд. площадки, по которым действуют только нормальные напряж.. Напряж. состояние в окрестности любой точ. можно представить как растяжения в 3 взаимно перпенд. направлениях, совпадающих с направлен. нормалей к главным площадкам.Элипсоид Ламе Радиус-вектор произвольной точ. такой пов-сти представл.полное напряжение на одной из площадок, положение кот. определ. Велич. М₁,М₂,М₃. При этом одно из гл. напряж. явл. макс, другое мин. Инварианты тензора. Разложение тензора . на сфер. тензор и девиатор. Гл. напряж., как и все напряж. состояния в данной точ. зависят от нагрузок и не зависят от выбора корд. осей =>и при других исходных напряжениях получаем одно и тоже кубическое уравнение => коэф-ты и свободные члены ур-ия инвариантны к преобразованию координат и называются инвариантами тензора напряжений в этой точке.I₁=σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃ I’₁=σ₁+σ₂+σ₃

13.Линейные и угловые деформации. Тензор деформации. Геометрич. истолкование компонент ТД. Рис.: оси xyz, на них кубик dV = dxdydz. Рис.2: оси только х и у, на них квадратик dydx (начальное сост.). На расстоянии u по x и U по y тот же кубик, но уже ромбик. Его стороны dx + (u/x)dx; dy + (U/y)dy, отклонение верт. стороны на угол , горизонт. на , левый нижн. угол (/2) - _ху, отклонение вертикальной стороны от вертикали (U/y)dy, горизонт. стороны от горизонтали – (u/x)dx. Учитывая гипотез. о малости деформаций, получаем td  ,tg  .Тогда _x=(dx + (u/x)dx – dx)/dx = u/x. _ху   +  = u/y + U/x. Получаем соотн. Коши: _x = u/x. _y = u/y. _z = u/w. _ху = u/y + U/x. _ху = u/z + w/x. _ху = U/z + w/y. ТН модно представить в виде симметричного тензора 2-ого ранга. при условии, что _ху = ½_ху^~ + ½_ух^~. Итак, ТД:  = (_хх, _xy, _xz; _yx, _yy, _yz; _zx, _zy, _zz). ТД обладает теми же св-вами что и ТН и полностью определяет деформир. сост. тела. Все ф-лы одинаковы. Относит. изменение объема: = V/V = ((dx + _xdx)(dy + _ydy)(dz + _zdz) – dxdydz)/dxdydz = (dxdydz + (_x + _y + _z)dxdydz + _x_y_zdxdydz + + dxdydz)/dxdydz = _x + _y + _z (т. к.  ~ 10^-3 … 10^-5). Итак,  = V/V = _x + _y + _z = I_1 - первый инвариант ТД. Если I_1 =  = 0, это означ., что деформ. не сопровожд. изменением объема. ТД может быть представлен в виде:  = Sph + Dev. Ур-ия неразрывности деформации. Соотн. Коши связывают 6 ф-ий коорд. с 3-мя ф-иями перемещ. (u, U, w). Исключим из соотн. Коши u, U, w: _x = u/x. _y = u/y. _z = u/w. (²/y²)(_x) + (²/x²)(_y) = (²/y²)(u/x) + (²/x²)(u/y) = ³u/xy² + ³U/yx² = (2/xy)(u/y + U/x). Получ. тождества Сенвенана: (²/y²)(_x) + (²/x²)(_y) = (2/xy)_ху; (²/z²)(_y) + (²/y²)(_z) = (2/yz)_yz; (²/z²)(_x) + (²/x²)(_z) = (2/xz)_хz.

14. Закон Гука при растяж. / сжатии. Закон Гука при сдвиге. Обобщенный закон Гука. Связь межу объемным модулем, модулем Юнга и коэфф. Пуассона. Упругость – св-во тел восстанавливать первонач. размеры после снятия внеш. нагрузок. Правельнее говорить не о хрупких или пластичных матер. а о хрупком и пластичном состояниях в-ва. Количественно, упругость выраж. в том, что компоненты тензора напряж. явл. однозначными ф-ями тензора деформации, которые универсальны для данного материала и не зависят от порядка следования деформации, т. е. _jk = Ф(_jk). Объемный закон Гука. Закон Гука при сдвиге. Материалы по разному ведут себя по отношению к объемной деформации или к сдвигу. Sph = 3Kph. Dev = 2GDev. Или  = K,  = G. К – объемный модуль упругости, G – модуль сдвига. (справедливы для изотропн. мат.). Закон Гука при растяж. / сжатии. Рис. стержень, растяг. силой Р, первоначально / после деформ.: длина l / l + l; диаметр b / b + b. Вычислим отн. лин. деформации:  = l/l; ' = b/b.  = '/ - коэфф. Пуассона. Закон Гука:  = Е, Е – модульупругости (модуль Юнга). Е,  достаточно легко вычисл. из опыта на растяж/сжатие. _х = _x(_x) + _x(_y) + _x(_z) = _x/E + (- _y/E) + (- _z/E) = (1/E)(_x - (_y + _z)). Итак, ОЗГ: _х = (1/E)(_x - (_y + _z)), _y = (1/E)(_y - (_x + _z)), _z = (1/E)(_z - (_x + _y)).  = G - для сдвига, _xy = _xy/G; _xz = _xz/G; _yz = _yz/G.  это тоже ОЗГ. Для изотроп. материала эти 3 константы Е, , G не явл. независ: G = E/(2(1 + )). Связь межу объемным модулем, модулем Юнга и коэфф. Пуассона. Введем среднее или гидростатич. давление:  = (1/3)(_x + _y + _z). Знаем, что  = _x + _y + _z = (1/Е)(_x + _y + _z - 2(_x + _y + + _z)) = ((1 - 2)/Е)(_x + _y + _z).  = K   = /К, ((1 - 2)/Е)(_x + _y + _z) = (3(1 - 2)/Е)((_x + _y + _z)/3) = = (3(1 - 2)/Е) = .  К = Е/(3(1 - 2)). Вообще: 0  (из термодинамич. сообр, иначе вечн. двигат.) К  ,0    ½. Для каучука   ½, для пробкового дерева   0.

15. Испытания на растяж. Основные механич. хар-ки конструкционных материалов. Опыт на растяж – это почти единств. возм. осущ. однород. напряж. сост. Образец – на нем риски, Ø 10мм. График.: оси  и , график растяжения.Основные точки:_пц – предел пропорциональности, т – площадка текучести, в – предел прочности - макс. , _разруш. Линии Чернова-Люберса, есть следы выхода дислокаций на пов-ть. 2-е хар-ки: относительное сужение после разрыва:  = ((l_k – l₀)/l₀)*100%. Относит. сужение после разрыва:  = ((F_k – F₀)/F₀)*100%. Все условно, т. к. отнесено к F₀, d₀. Эффект Баушингера. Два графика. после разгружения переходим в точку О'. Повторное нагруж. происх. по линии О'К. Теоретич. прочность. Если считать структуру материала идеальной, то в этом случае прочность его была-бы на 2…3 порядка выше. Такое расхожд. объясняется наличием дислокаций – деффектов КР.Их плотность может достигать 10⁷…10⁸ см/см³ [длина дислокац./объем]. Различные факторы, оказ. влияние на прочность: вид материала, форма и размер тела, протяженность нагружения (деформирования), число циклов нагрузки, t, скорость нагрузки, степень агрессивности окруж. среды, внешнее излучение и др.  некотор. переходная зона изменения указ. параметров, котор. разделяет область пластич. разруш. от хрупкого. Эксплуатац. констр. в области хрупкого разр. недопустима. Факторы, вызыв. охрупчивание:  содерж. С в мат, близость напряж. сост. к всестороннему равномерн. нагруж., термообработка, увеличение габаритов конструкции (масштабный фактор), концентрац. напряжений,  t окруж. среды,радиоакт. Излуч.

16. Основы теории прочности. Общие понятия о критериях предельных состояний. Критерий текучести Треска – Сен-Венана и критерий Губера–Мизеса. Критерий Мора. Запись критериев текучести для упрощенного плоского напряж. Сост..На практике трудно исследовать объёмное напряж. сост. Для облегчения проверки системы на прочность вводится некот. ф-ция , исследуя кот. можно сделать вывод о напряж. сост. системы в целом, сравнив её значение с тем значением, при котором в данной точке напряж. тела наступает предел. сост.. Предельное сост.Пластич. материал: . Хрупкий материал: . Физич. условие прочности: (пластич. мат.), (хруп. мат.).Технич. условие прочности: (пласт.), (хруп.) – нормат. коэфф. запаса прочности. – фактич. коэфф. запаса прочности.Рассмотрим пространство главных напряжений . В нём сущ. некая область допустимых сост. такая, что при попадании конца вектора главных напряжений за границу этой области наступает предельное состояние. Таким образом, можно составить уравнение пов-сти текучести Исходя из механич. соображений, делается предположение о причине разрушения материала. Эта причина считается одинаковой для всех возможных напряж. состояний. Такой фактор имеет чисто механич. природу и может быть оценен качественно (напряжение, деф-ция, энергия).Критерий текучести Треска– Сен-Венана.Опыт показывает, что разрушения предшествуют большие остаточные деф-ции,а также,что ответственными за наступление текучести являются касат. напряжения.Текучесть наступает тогда, когда наибольшее касат. напряжение достигает предел. значения, не зависящего от вида напряж. состояния, а зависящего только от св-тв материала.Таким образом, условием наступления текучести является . Для одномерного напряж. состояния . Тогда . Для объемного напряж. Сост. . .Критерий текучести Губера–Мизеса. Текучесть наступает тогда, когда плот-ть потенц. энергии деф-ции девиатора достигает предел. значения, не завис.от вида напряж.сост.,а завис-го только от св-тв материала. .Критерий Мора. Предельное состояние (разрушение) наступает тогда, когда точка, соответствующая данному напряженному состоянию выйдет за пределы области, полученной по результатам частных и предельных случаев. , – безразмерная хар-ка хрупкого материала.Запись критериев текучести для упрощенного плоского напряж.состояния. .Обозначим , . Критерий Сен-Венана: .

Критерий Мизеса: . Критерий Мора: .

17. Общие вопросы надежности конструкций и элементов энергофизического оборудования. Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Допускаемые напряжения и коэффициент запаса прочности. Механика материалов и конструкций – наука о расчёте машин, конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость. Надежность – комплексное свойство технического объекта (прибора, устройства, машины, системы), заключающееся в его способности выполнять заданные функции, сохраняя свои основные характеристики (при опред. условиях эксплуатации) в установленных пределах. Понятие надёжности включает безотказность, долговечность, ремонтопригодность, сохраняемость, живучесть, и т.д. Безотказность – свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторого времени или вплоть до выполнения определенного объема работы без вынужденных перерывов в заданных условиях эксплуатации.Прочность – способность конструкции сопротивляться действию внешних нагрузок и др. воздействий (температура, смещений опор, …) не разрушаясь. Жесткость: если в процессе нагружения изменения размеров и форм незначительны и не приводят к нарушению эксплуатационных свойств, то говорят, что конструкция обладает необходимой жесткостью. Устойчивость: если усилия приводят к малым и исчезающим после снятия воздействия отклонениям, то такое состояние равновесия называется устойчивым. Расчёт этих трёх параметров служит обеспечением механической надежности. В общем случае для пластических материалов условие прочности записывается следующим образом:

Необходимость введения нормативного коэфф. запаса обусловлена следующими факторами:1)неполная достоверность сведений о величине и характере внешних нагрузок.2)наличие разброса механических свойств материала.3)несовершенство расчётной схемы.4)несовершенство изготовления, монтажа, условий работы.

Кроме того, учитывает назначение, степень ответственности, срок эксплуатации, и т.д.

18. Принцип Сен-Венана. Понятие о концентрации напряжений. На достаточном расстоянии от места приложения системы сил статически эквивалентных нулю напряжения деформации в упругом теле, вызываемые этой системой сил, равны нулю.Система сил, прилож. к телу, должна быть распределена по достаточно по сравнению с характер. размерами тела Фундамент. следствие из этого прин-ципа:если силы приложены на малом по сравнению с характер. размерами тела участке, то напряж. деформир. сост. на достаточном удалении от места приложения системы сил полностью определяется статическим эквивалентом данной сист. сил. Поня-тие о концентрац. напряжений.Имеется широкий класс задач,к кот. принцип Сен–Венана неприменим. Это связано в основном с наличием концентраторов напряжений.Концентрация напряжений–локальное отклонение однородных полей напряжений вблизи окрестности резких изменений формы и размеров тела, а также в окрестности площади нагружения.

19. I)Конструкции, работающие на растяжение (сжатие). Осевая деформация прямолинейного стержня.II)Работа внешних сил и потенциальная энергия упругой деформации или растяжения(сжатия).I)Рассмотрим осевую деформацию стержней с криволинейной осью, такая деф-ция возможна, когда внешние нагрузки сводятся к главному вектору. При этом линия действия главного вектора совпадает с направлением продольной оси стержня, центральное напряжение.При изучении осевой деф-ции прямого стержня есть гипотезы:1)гипотеза плоских сечений- сечения плоские по деф-ции остаются плоскими и паралел. Друг другу и после деф-ции.2)закон Гука 3)о ненадавливании волокон . и можно пренебрегать Nz=. σ=const σ=(Nz)/F. =пред/[n]. II)Материал линейно упругий,внешние силы прикла-дываются квазистатически, перемещение точек тела малы, потери энергии на трение, перемагнич. малы. A=0.5P*dU=dA=0.5Nz(.U=0.5-общий случай. В случае если Nz и EF -const U=0.5. При вычислении потенц. Энергии упругой деф-ции принцип суперпозиции неприменим и нелинейно относится Nz

20. Интеграл Максвелла-Мора для случая растяжения(сжатия). Определения взаимных и температурных перемещений. Будем исходить из того, что вся работа совершенная внеш. силами переходит в энергию упругой деф-ции. Искомое переме-щение войдет в ур-ие А=U лишь в том случае, если в направлении этого перемещ. В сист. будет приложена сила, кот. совершает на этом перемещ. Т.к в общем случае такая сила может и не быть.Приложим в точку к случайную силу =, если Nk и EF -const то =Np-продол. усилие в стержне от внешней нагрузки. от единичной случ.силы. =-взаимное перемещение сечений, при этом суммирование проводится в участке k1, только здесь Nk1k2 отличается от 0.=. = – температ.перемещ. Слогаемые в этой форму. будет положит. если характер деф-ции от температурного поля и от единичной нагрузки одинаково.

21-22 Статически опред. и статич. неопред. системы. Каноническое ур-е метода сил. Сист., реакц. внеш. и внутр. связей в котор. можно найти, используя лишь ур-ия статики, наз. статически определимыми. Канонич. метод сил. Для опред. усилий в статич. неопред. конструкциях. Алгоритм: 1. составляем основную систему в каторой искомые усилия заменяем силами Х₁, Х₂, … Х_n. 2. определяем все усилия Nj₁¯ под действием только силы Х₁, затем N_j2¯ для Х₂ и т. д… причем другие Х и внеш. нагрузка Р приравн. к 0. (j – номер стержня). 3. определяем все усилия N_jр в стержнях под действием внешней нагрузки Р, без учета "лишних" стержней. 4. определяем коэфф. _hk = _j=1^m(N_jh¯N_jk¯l_j/EF_j). _kp = _j=1^m(N_jk¯N_jpl_j/EF_j). j = 1, 2, …, m – номер стержня. 5. составляем и решаем систему n ур-ий: ₁₁Х₁ + ₁₂Х₂ + … + _1nХ_n + _1р = 0; …; _n1Х₁ + _n2Х₂ + … + _nnХ_n + _nр = 0. Находим Х₁, Х₂, … Х_n. 6. наконец, находим истинные усилия в стержнях по ф-ле: N_j = Nj₁¯Х₁ + … + Nj_n¯Х_n + Nj_p. Определение монтажных усилий.Пусть один стержень на  короче, чем надо. Приложим в этом стержне стягивающее точки усилие Х₁. Уравнение будет иметь вид: ₁₁Х₁ = . Отсюда находим Х₁ и все остальное.

23. Расчет элементов конструкций, работающих на изгиб. Классификац. видов изгиба. Дифф. зависимости между внутр. силовыми факторами при изгибе. Изгиб – это такой вид деформации, когда в поперечном сечении стержня возникает изгибающий момент. Геометрич. хар-ки поперечн. сечений. Проведем оси коорд. через центр тяж. попереч. сеч. Возьмем  малую плошадку dF на сечении. Статич. момент попереч. сеч. отн. оси Х: S_x = _FydF (S_y = _FxdF). Осевой момент инерции: I_x = _Fy²dF (I_x = _Fy²dF). Центробежный момент инерции: I_xy = _FxydF. (если он = 0, то оси х и у – главные центральные оси). Изогнутая ось стержня наз. упругой кривой. Если все силы лежат в одной з плоскостей инрц., то изгиб наз. прямым. Классификац. изгибов. прямой (чистый Мх = 0, Qy = 0, My 0, Qx = 0; поперечный Qy  0, Qx  0); косой (чистый Qx = Qy = 0; поперечный Mx  0, My  0, Qy  0, Qx  0). Дифф. зависимость: Рис.: балка, посередине на некотор. участке ее рапред. нагр. q. А в нем кусочек dz. Ф-лы: y = 0: Q_y + qdz – (Q_y + dQ_y) = 0. dQ_y/dz = 0. mom = 0: Q_ydz + M_x + qd_z(d_z/2) – M_x – dM_x = 0. dM_x/dz = Q_y. d²M_x/dz² = q.

24. Чистый прямой изгиб. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Расчеты на прочность. Рациональные формы попереч. сечений при изгибе. Чистый изгиб балки: M_x = - _FdFy (M_у = - _FхdF). Вывод ф-лы для кривизны нейтр. слоя при чистом изгибе. Рис.: стержень nn, в нем кусок длиной dz, причем на высоте у от линии nn помечен отрезок АВ. Сечение овальное. После изгиба: прложен момент по краям Mx, радиус кривизны , отрезок АВ перешел в A'B', угол его d. dz = d.  = (A'B' – AB)/AB = (( - y)d - d)d = - y/. Итак:  = - y/.  = E = - Ey/. Нарис. график попереч. напряж. Т. к. изгиб чистай, М_х  0; N_z = 0; M_y = 0; Q_y = 0; Q_x = 0… Nz = _FSdF = 0. _F(- Ey/)dF = 0  _FydF = 0. Статич. момент: S_N-N = _FydF = 0  ось N-N – проходит через центр тяжести сечения. Q_x, Q_y – главные центральные оси. M_x = - _F_ydF = = _F(E/)y²dF = (E/)_Fy²dF. Осевой момент инерции I_x = _Fy²dF. M_x = EI_x/. Кривизна 1/ = М_x/Ey_x  жесткость сечения при изгибе. Фор-ла для напряж. при чистом изгибе.  = - (E/)y = - (M_x/I_x)y.  = - (M_x/I_x)y. Момент сопротивления при изгибе. Пусть сечение – симметрично отн. оси ОХ. Рис. оси, сечение – овал. Высота h, отн-но горизонт. оси до краев y_max = h/2. _max = (M_x/I_x)y_max. Wx = I_x/y_max. _max = M_x/W_x. Рац. попереч. сеч. при изгибе. для пластичн. матер. – симметричн, т. к. []_p = []_c. (растяж. сжатие). Для хрупких – антисимм., т. к. []_p  []_c (иногда в несколько раз). Расчет на прочность: _max = M_x/W_x. dM_x/dz = Q_y.. Прямой поперечный изгиб. М_х  0, Qy  0. M_x = - _F_ydF. Qy = ∫_FdF. (Наруш. гипот. плоских. сеч., наруш. гипот. о не надавл. волокон). Нормальные напряжения:  = - (M_x/I_x)y. Касат. напряж: ф-ла Журавского:  = Q_yS_x^/I_xb. Qy – поперечная сила. Ix – осевой момент сечения. b – ширина сечения. S_x^ - статич. момент отсеченной части. Рис.: оси х и …, овал, вверху примерно на половине линия, отсек. верхн. часть, длина ее b, на ней действуют  (направл. ). Рис. 2: тоже, но верхн. часть заштрих., ее плошадь – F, расст. от оси х до ее центра – x(?).Статич. момент попереч. сеч. отн. оси Х: S_x = _FydF (S_y = _FxdF).

25. Определение перемещений при изгибе. Энергетический метод Примем гипотезы:1)материал следует закону Гука. 2)силы прикладываются квазистатически.3)перемещения малы. Чистый изгиб: Поперечный изгиб: . Интеграл Максвелла – Мора для деформации изгиба Перемещения в системе определяются следующим образом:

растяжение изгиб

Для вычисления необходимо:1)Построить эпюру в системе загруженной внешними силами.2)Построить эпюру . Причём, если требуется найти , прикладывается . Если ищется , то прикладывается .Интеграл Максвелла – Мора может вычисл. двумя способами: по правилу Вере-щагина и по ф-ле Симпсона .Ф. Симпсона: Применима, если:1) – длина участка, где эпюры идут по одинаковым законам.2) на отрезке .3).