4.2 Матрична економіко-математична модель підприємства

У спеціальній літературі можна знайти інші назви цього типу моделей, наприклад зустрічаються назви: “балансна модель”, “модель “витрати – випуск”, “модель Леонтьєва”.

Нехай, n – кількість видів продукції; x = (x_i), - вектор випуску валової продукції ; у = у_і, - вектор товарної продукції; - вектор витрат . Економічна система характеризується виробничою матрицею А = (а_ij), , , де величина а_ij є кількістю і-ої продукції, яка витрачається на виробництво одиниці j-ої продукції (коефіцієнт прямих витрат) за умови, що в кожному з виробничих підрозділів чи галузей виробництво здійснюється одним технологічним способом. На виробництво валової продукції всіх видів витрачається одиниць і-ої продукції. Вектори x та y взаємопов”язані системою рівнянь

.................................................. (4.2.1)

..................................................

,

яку можна також записати

, . (4.2.2)

Виходячи із наведеної системи рівнянь, дана модель дає змогу розраховувати:

1) за заданими обсягами товарної продукції необхідну для виробництва кількість валової продукції; 2) при заданому рівні випуску валової продукції вихід товарної продукції; 3) як зміна коефіцієнтів прямих витрат а_ij, які залежать від техніко-технологічних, організаційних та інших параметрів виробництва буде впливати на співвідношення векторів валової та товарної продукції.

З точки зору макроекономічної постановки модель (4.2.1) має таке тлумачення. Нехай n країн ведуть між собою торгівлю і а_ij є схильністю j-ої країни до імпорту з і-ої країни (тобто, це зростання імпорту і з j , що відповідає одній додатковій одиниці зростання доходу країни j ). Позначення а_іі – це схильність країни і до споживання власних товарів. Якщо позначити через x_i національний доход країни і, а через у_і - її національні витрати, які не залежать від доходу, то величини x_i та у_і будуть пов”язані між собою системою рівнянь (4.2.1).

На рівні підприємства матрична модель утворюється в результаті суміщення балансів виробничих витрат та розподілу продукції як для внутрішнього споживання, так і на збут (табл. 4.2.1).

Таблиця 4.2.1 – Матрична модель розподілу продукції та ресурсів на підприємстві

Продукція виробництва	Продукція споживання
	1-ий квадрант			2-ий квадрант
	основна продукція	допоміжна продукція	інші витрати	товарна продукція	валова продукція	ціна
Основне виробництво	А1	А2		Y1	X1
Допоміжне Виробництво	А3	А4		Y2	X2
Інші витрати					Кошторис витрат
	3 – ій квадрант			4 – ий квадрант
Сировина, паливо, енергія, матеріали	D1	D2
Види обладнання	F1	F2
Види трудових ресурсів	T1	T2
Фінансові показники

Перший квадрант показує виробничі зв”язки між усіма підрозділами підприємства за видами виробництва: основне і допоміжне. Тому перший квадрант складається із чотирьох розділів, які характеризуються підматрицями

(А1, А2, А3, А4) А, де, як уже було сказано, А = (а_ij), , , а величина а_ij характеризує коефіцієнти прямих витрат. Ці коефіцієнти показують, скільки одиниць продукції (робіт, послуг) одного виду потрібно витратити на виробництво продукції (робіт, послуг) іншого виду, тобто ці коефіцієнти характеризують внутрізаводський оборот. Підматриця А1 характеризує виробничі зв”язки між підрозділами основного виробництва; підматриця А2 – між підрозділами основного та допоміжного виробництв; А3 – між підрозділами допоміжного та основного виробництв; А4 – між підрозділами допоміжного виробництва.

Другий квадрант відображає основні показники діяльності підприємства : товарну продукцію та валовий оборот. Таким чином,

Валова продукція

Товарна

продукція

Внутрізаводський оборот

= +

Для розрахунку валової продукції можна скористатися системою рівнянь (4.2.1)-(4.2.2), яка матиме у даному випадку такий вигляд

. (4.2.3)

Коефіцієнти прямих витрат можна розрахувати із співвідношення

, (4.2.4)

а отже, рівняння (4.2.3) можна переписати у вигляді

. (4.2.5)

Системами рівнянь (4.2.1) – (4.2.2) та (4.2.5) зручніше оперувати у матричній формі запису, яка щодо рівнянь (4.2.5) матиме такий вигляд

А·Х + У = Х, (4.2.6)

де всі позначення відповідають наведеним у табл. 4.2.1.

Розв”язок матричного рівняння відносно У

Х - А·Х = У,

Х· (Е - А) = У, (4.2.7)

де Е – одинична матриця, тобто матриця порядку n, складена з одиниць, які розміщені по діагоналі та нулів, що заповнюють решту елементів матриці.

Для знаходження валової продукції Х , з останнього рівняння матимемо

(Е – А)^-1 · У = Х. (4.2.8)

Вираз (Е – А)^-1 можна подати у вигляді нової матриці з коефіцієнтами А_ij, які називаються коефіцієнтами повних витрат. Ці коефіцієнти відображають прямі і непрямі (посередні) витрати продукції і на виробництво одиниці продукції j.

Третій квадрант містить матриці витрат на залучені із зовні ресурси для основного та допоміжного виробництв:

• D = (d_rj) – нормативи витрат r-го виду матеріалів, сировини, палива, енергії на виробництво продукції j-го виду;

• F = (f_sj) – норми амортизаційних відрахувань, витрат машинного часу, виробничих площ і т.п. s-ої групи обладнання на виробництво j-ої продукції;

• Т = (t_lj) – нормативи трудомісткості l-ої професійно-кваліфікаційної групи робітників на виробництво j-ої групи продукції.

Четвертий квадрант характеризує реалізацію матеріальних цінностей та основних фондів, а також надання послуг невиробничим підрозділам підприємства.

Приклад. Розглянемо методику розрахунку виробничого плану підприємства, яке складається з трьох цехів. Норми витрат ресурсів власного виробництва та залучених зі сторони подані у табл.4.2.2.

Таблиця 4.2.2 – Спрощена матрична модель підприємства

Продукція виробництва цеху та витрати ресурсів	Од. виміру	Продукція споживання цеху			Одинична вартісна оцінка ресурсів, грн	Товарна продукція уі	Валова прод-ія хі
		1-ий цех	2-ий цех	3-ій цех
1-ий цех	тонн	0.2	0.1	0.6		4000	х1
2-ий цех	тонн	-	0.4	0.7		1500	х2
3-ій цех	тонн	-	0.2	0.3		2000	х3
Сировина	тонн	1.1	0.7	1.9	300
Паливо	тонн	0.2	0.4	0.3	15
Ел.енергія	кВт-год	30	100	70	0.15
Трудоміст-кість	люд.-год	4	2	7	2
Амортизація	Грн./ од.прод	1.5	2.5	6.0
Накладні витрати	Грн./ од.прод	0.3	0.4	0.7

1. Знаходимо валову продукцію, для чого скористаємося формулою (4.2.5)

0.2х1 +0.1х2 + 0.6х3 +4000 = х1,

0х1 + 0.4х2 + 0.7х3 +1500 = х2,

0х1+ 0.2х2 + 0.3х3 + 2000 = х3,

звідки х1 = 10112 тонн; х2 = 8750 тонн; х3 = 5357 тонн.

Для розв”язання даної системи рівнянь можна скористатися як Mathcad , так і Excel. У Mathcad це буде виглядати так.

Можна скористатися також матричною формою запису.

2. Знаходимо міжцехові потоки, для чого скористаємося залежністю, отриманою з рівняння (4.2.4)

.

Перший цех буде розподіляти свою продукцію по всіх трьох цехах у такій кількості:

х₁₁ = 0.2·10112 = 2023; х₁₂ = 0.1·8750 = 875; х₁₃ = 0.6·5357 = 3214.

Аналогічно для інших цехів: х₂₁=0; х₂₂=3500; х₂₃=3750; х₃₁=0; х₃₂=1750; х₃₃=1607.

3. Виконуємо розрахунки необхідних ресурсів.

   1. Для сировини, палива та електроенергії маємо (тонн)

,

2. що у грошовому вираженні складе (грн)

,

3. Для трудових ресурсів (люд.-год)

,

а в грошовому вираженні (зарплата): 2×95447 = 190894 грн.

4. Амортизаційні відрахування (грн.)

.

5. Накладні витрати (грн.)

.

4. Розрахуємо собівартість кожного виду продукції, тобто кожного цеху за формулою

, (4.2.9)

де р_j – накладні витрати; - внутрізаводські витрати.

Підставивши у рівняння (4.2.9) вхідні дані з табл.4.2.2, отримаємо

С1 = 0,2С1+0,1С2+0,6С3+1,1·300+0,2·15+30·0,15+4·2+1,5+0,3;

С2 = 0,4С2+0,7С3+0,7·300+0,4·15+100·0,15+2·2+2,5+0,4;

С3 = 0,2С2+0,3С3+1,9·300+0,3·15+70·0,15+7·2+6+0,7.

Виконавши спрощення, отримаємо

0,8С1- 0,1С2 - 0,6С3 = 347,3;

0,6С2 – 0,7С3 = 237,9;

-0,2С2 + 0,7С3 = 605,7.

Розв”яжемо дану систему рівнянь в програмному забезпеченні Excel. Для цієї системи матимемо матрицю коефіцієнтів

,

вектор вільних членів рівнянь

,

вектор невідомих

.

Для отримання розв”язку в Excel необхідно:

1. Вибрати будь-які клітинки робочої книги і ввести вхідні дані матриці коефіцієнтів та вектора вільних членів рівнянь системи.

2. Розрахувати обернену матрицю А^-1 коефіцієнтів рівнянь системи з допомогою вмонтованої функції МОБР. При цьому необхідно:

   • відмітити діапазон клітинок, де буде знаходитися обернена матриця;

   • активізувати майстер функцій з меню “Вставка” ”Функция...” ”МОБР” після чого в поле, що появилося, вводяться координати кліток матриці коефіцієнтів; для нашого прикладу – це =МОБР(В2:D4);

   • натиснути і відпустити клавішу F2, а відтак – комбінацію клавіш

Ctrl + Shift + Enter.

3. Знайти розв”язок системи рівнянь за допомогою вмонтованої функції перемноження матриць МУМНОЖ. Процедура розрахунку виконується аналогічно визначенню оберненої матриці:

• відмічаємо будь-який діапазон клітинок на вільному полі, де можна розмістити вектор-розв”язок С1,С2,С3; для нашого випадку – це В16:В18;

• далі потрібно активізувати майстер функцій з меню “Вставка” ”Функция...” ”МУМНОЖ” після чого в поле, що появилося вводяться координати кліток тих масивів, добуток яких розраховується; у нашому випадку – це В2:D4;В7:В9;

• для отримання на екрані розв”язку натиснути і відпустити клавішу F2, а далі – комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.

На рис.4.2.1 наведені результати розрахунку, а на рис.4.2.2 – вхідні дані та формули розрахунку у режимі відображення формул, який можна активізувати з меню Сервис Параметры Вид Формулы.

Рис.4.2.1 – Результати розрахунків системи рівнянь

До розв”язання систем рівнянь за допомогою пакетів Mathcad та Excel необхідно зробити одне спільне зауваження, яке стосується чисто математичного боку справи. Якщо розв”язку не отримано, то це може означати, що визначник (детермінант) матриці коефіцієнтів рівний нулю. У цьому випадку визначник матриці коефіцієнтів розраховується: в Mathcad з меню Viev Toolbars Math Matrix ; в Excel – за допомогою вмонтованої функції МОПРЕД . Наприклад, для нашого випадку потрібно у вільну клітку ввести =МОПРЕД(В2:D4).

Рис.4.2.2 – Відображення вмонтованих функцій

Програмне середовищ Excel зручне тим, що в ньому можна повністю розрахувати виробничий план підприємства у матричній формі запису.

Розрахунок виробничого плану підприємства*
Продукція виробництва		Од. вим.					Продукція споживання					Ціна						Товарна				Валова
					цеху 1		цеху 2			цеху 3		од. рес-су						пр-ція, Yi				пр-ція, Хі
Цеху 1		т.			0,2		0,1			0,6								4000				10112
Цеху 2		т.			0		0,4			0,7								1500				8750
Цеху 3		т.			0		0,2			0,3								2000				5357
Сировина		т.			1,1		0,7			1,9		300
Паливо		т.			0,2		0,4			0,3		15
Електроенергія		кВт*год			30		100			70		0,15
Трудомісткість		люд*год			4		2			7		2
Амортизація		грн/од.пр.			1,5		2,5			6
Накладні витрати		грн/од.пр.			0,3		0,4			0,7
* Розрахунок виконано Д.О. Заузолковою 1. Знаходимо валову продукцію підприємства, склавши систему рівнянь
0,2*X1+0,1*X2+0,6*X3+4000= X1
0*X1+0,4*X2+0,7*X3+1500= X2
0*X1+0,2*X2+0,3*X3+2000= X3
А - матриця коефіцієнтів прямих витрат, Е - одинична матриця
А1 - матриця коефіцієнтів повних витрат, які показують суму прямих і непрямих витрат на виробництво продукції i-го виду.
В - вектор-стовпець валової продукції
	0,2		0,1			0,6											1			0			0
A=	0		0,4			0,7						E =					0			1			0
	0		0,2			0,3											0			0			1
	0,8		-0,1			-0,6											4000
A1=	0		0,6			-0,7						B=					1500
	0		-0,2			0,7											2000
	1,25		0,85			1,92
A1^(-1)=	0,00		2,50			2,50
	0,00		0,71			2,14
						Цех 1		Цех 2				Цех 3
	10112					0,2		0				0
X=	8750					0,1		0,4				0,2
	5357					0,6		0,7				0,3
2.Розраховуємо міжцехові потоки продукції
						Цех 1		Цех 2				Цех 3
						2022		0				0
						875		3500				1750
						3214		3750				1607
3 Розраховуємо за коефіцієнтами прямих витрат кількість необхідних ресурсів для сировини,
палива, електронергії в натуральному вигляді
	1,1			0,7		1,9																	27426
	0,2			0,4		0,3			x							X					=		7129
	30			100		70																	1553348
у вартісному
	27426			x		300			=							8227902
	7129			x		15			=							106942
	1553348			x		0,15			=							233002,2
4.Кількість трудових ресурсів знаходимо, перемноживши вектор-рядок трудомісткості на
вектор-стовпець валової продукції
															натур.од				вартіс.од.
	4			x									=		40446				80893
	2			x		X							=		17500				35000
	7			x									=		37500				75000
															сума:				190893
5. Амортизаційні відрахування знаходимо аналогічно
	1,5			x									=		15167
	2,5			x		X							=		21875
	6			x									=		32143
6. Накладні витрати:
	0,3			x									=		3033
	0,4			x		X							=		3500
	0,7			x									=		3750