I математична статистика

Методичнi вказiвки

розрахункових та контрольних

до

виконання

робiт

Київ – 2012

ЗАВДАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

1. Класичне означення ймовiрностi випадкової подiї

1. На десяти картках написанi цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Випадковим чином вибирається три картки. Знайти ймовiрностi того, що: а) в порядку появи цифр буде отримано число 123; б) з отриманих цифр можна скласти число 123.

2. Кидаються одночасно двi гральнi кiстки. Знайти ймовiрностi наступних подiй:

а) сума цифр, що випали дорiвнює 8; б) добуток дорiвнює 8; в) сума цифр дорiвнює

8, а добуток 15.

3. З урни, що мiстить 10 пронумерованих куль, навмання виймають одну за однiєю всi кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що номери вийнятих куль будуть йти по порядку:

1, 2, 3, ..., 10.

4. Гральна кiстка кинута два рази. Знайти ймовiрнiсть того, що обидва рази з’явиться: а) однакове число очок б) рiзне число очок.

5. В урнi мiститься 10 пронумерованих куль. З урни навмання виймають одну за одною 10 куль, при чому номер кожної кулi записується, пiсля чого вона повертається в урну i перемiшується з iншими. Знайти ймовiрнiсть того, що буде записана наступна послiдовнiсть номерiв: 1, 2, ..., 10.

6. У ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання вибирають 4 деталi. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вибраних деталей рiвно 3 стандартнi.

7. В урнi 6 бiлих i 4 чорнi кулi. З урни навмання виймаються одночасно двi кулi. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) обидвi кулi бiлi; б) обидвi кулi чорнi; в) одна бiла, а друга чорна.

8. З п’яти букв розрiзної азбуки складене слово "книга". Дитина, що не вмiє читати, розсипала цi букви, потiм зiбрала їх знову в ряд. Знайти ймовiрнiсть того, що в неї знову вийшло слово "книга".

9. Дитина грає з десятьма буквами азбуки: А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. Знайти ймовiрнiсть того, що вона випадково складе слово "МАТЕМАТИКА".

10. 10 чоловiк випадковим чином розсаджуються за круглим столом. Знайти ймо- вiрнiсть того, що господар i господиня будуть сидiти поруч.

11. У лiфтi семиповерхового будинку па першому поверсi увiйшли три пасажири. Кожен з них з однаковою ймовiрнiстю може вийти на будь-якому з поверхiв, почи- наючи з другого. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) всi пасажири вийдуть на п’ятому поверсi; б) всi пасажири вийдуть на одному поверсi; у) всi пасажири вийдуть на рiзних поверхах.

12. Телефонний номер м. Днiпропетровська складається з 6 цифр. Знайти ймовiр- нiсть того, що при наборi номера навмання: а) всi цифри рiзнi; б) всi цифри однаковi.

13. Цифровий замок мiстить на спiльнiй осi 4 диски, кожен з яких роздiлений на

10 пронумерованих секторiв. Замок вiдкривається тiльки в тому випадку, коли ци- фри утворять деяке чотиризначне число. Яка ймовiрнiсть вiдкрити замок, набравши довiльнi 4 цифри?

14. У лотереї 100 квиткiв, серед них один виграш в 50 грн., 3 виграшi по 25 грн.,

6 виграшiв по 10 грн., 15 виграшiв по 3 грн. Учасник купує один квиток. Знати ймовiрнiсть: а) виграти не менше 25 грн.; б) виграти не бiльше 25 грн.

3

15. У лотереї 100 квиткiв, причому на 25 квиткiв випали виграшi. Учасник купує

3 квитки. Яка ймовiрнiсть виграшу: а) на 2 квитки; б) на 3 квитки.

16. Куб, всi гранi якого забарвленi, розрiзано на тисячу кубикiв однакового розмi- ру, якi потiм ретельно перемiшанi. Знайти ймовiрнiсть того, що навмання витягнутий кубик буде мати забарвлених граней: а) одну; б) двi; в) три.

17. Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовiрнiсть того, що студент знає: а) всi три питання бiлета; б) два питання бiлета з трьох.

18. В урнi 5 бiлих i 5 чорних куль. З урни навмання виймають 5 куль. Яка ймо- вiрнiсть того, що: а) всi 5 куль будуть бiлими; б) 3 кулi бiлi, а 2 чорнi.

19. У партiї з 20 деталей є 18 стандартних. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5

взятих випадковим чином деталей виявиться: а) 3 стандартнi; б) 1 бракована.

20. Телефонний номер АТС м. Нiкополя складається з 5 цифр. Знайти ймовiрнiсть того, що при випадковому наборi номера: а) всi його цифри будуть рiзними; б) всi цифри будуть однаковими.

21. У коробцi мiститься 6 однакових пронумерованих кубикiв. Навмання по одно- му витягують 6 кубикiв. Знайти ймовiрнiсть того, що номери кубикiв будуть записанi в зростаючому порядку, якщо кубики витягуються: а) без повернення; б) з поверне- нням.

22. У ящику є 20 деталей, серед яких 15 пофарбованих. Робiтник навмання витя- гує 3 деталi. Знайти ймовiрнiсть того, що: а) всi 3 деталi пофарбованi; б) хоча б двi деталi пофарбованi.

23. У ящику 100 деталей, з них 10 бракованих. Навмання вибирають 4 деталi. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вибраних деталей: а) немає бракованих; б) всi бракованi.

24. Пристрiй складається з 10 елементiв, з яких 3 зношенi При включеннi при- строю включаються випадковим чином 3 елементи. Знайти ймовiрнiсть того, що включеними виявляться: а) незношенi елементи; б) 2 зношених.

25. Набираючи номер телефону, абонент забув останнi три цифри i, пам’ятаючи, що цi цифри рiзнi, почав набирати їх навмання. Знайти ймовiрнiсть того, що набранi потрiбнi цифри з першої спроби. Скiльки може бути у абонента невдалих спроб?

26. На складi є 20 кiнескопiв, причому 10 з них виготовленi днiпропетровським заводом. Знайти ймовiрнiсть того, що серед 5 взятих навмання кiнескопiв виявиться

3 кiнескопи днiпропетровського заводу.

27. У групi 25 студентiв, серед яких 6 вiдмiнникiв. По списку випадковим чином вiдiбранi 10 студентiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вiдiбраних буде 5 вiдмiн- никiв.

28. У коробцi 10 однакових виробiв, причому 7 з них пофарбованi. Навмання вибрано 5 виробiв. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вибраних виявиться хоча б 3 пофарбованi вироби.

29. На електростанцiї 15 змiнних iнженерiв, з них 3 жiнки. У змiну зайнято 3 iн- женери, знайти ймовiрнiсть того, що у випадково вибрану змiну чоловiкiв виявиться: а) один; б) два; в) три.

30. На складi 50 виробiв, з них 8 бракованих. Навмання вибирають 3 вироби. Знайти ймовiрнiсть того, що серед вибраних виробiв: а) 1 бракований; б) хоча б 1 бракований.

2. Геометричне означення ймовiрностi

1. До залiзничної каси у випадковi моменти часу в межах 10 хв. пiдходить 2 пасажири. Знайти ймовiрнiсть того, що пасажиру, який пiдiйшов другим, доведеться очiкувати в черзi, якщо термiн обслуговування кожного пасажира складає 2 хв.

^{2. Два дiйснi числа вибираються випадковим чином з вiдрiзка [−1; 1]. Знайти}

ймовiрнiсть того, що їх сума бiльше нуля, а добуток менше нуля.

3. Партiя з 100 виробiв випадковим чином розподiлена мiж трьома контролерами. Знайти ймовiрнiсть того, що кожен контролер отримає не менше 25 виробiв.

^{4. Два дiйснi числа p i q випадковим чином вибирають з iнтервалу (−1; 1). Знайти}

^{ймовiрнiсть того, що рiвняння x2 + px + q = 0 має дiйснi додатнi коренi.}

^{5. Вiдстань мiж пунктами M i N лiтак долає за 30 хв., а автобус за 5 год.}

^{Iнтервал руху лiтакiв 6 год. Автобус в випадковий момент часу вiдправився з M}

^{в N . Знайти ймовiрнiсть того, що черговий лiтак прибуде в N ранiше автобуса.}

6. Кожен з двох контролерiв перевiряє на протязi години не бiльше 10 виробiв.

Знайти ймовiрнiсть того, що обидва контролери перевiрять на протязi години вiд 12

до 18 виробiв.

7. Два лiтаки прибувають до аеропорту у випадковий момент часу вiд 12⁰⁰ до 13⁰⁰ . Знайти ймовiрнiсть того, що лiтаковi, що прибув другим, не доведеться очiкувати посадки, якщо посадка може вiдбутися не ранiше, нiж через 10 хв. пiсля посадки першого лiтака.

^{8. Два дiйснi числа p i q випадковим чином вибираються з iнтервалу (−1; 1).}

^{Знайти ймовiрнiсть того, що рiвняння x2 + px + q = 0 має дiйснi коренi одного знаку.}

9. Двiстi виробiв, що сходять з конвеєра, випадковим чином розподiляються в 3

контейнери, мiсткiстю не менше 200 виробiв кожен. Знайти ймовiрнiсть того, що в кожен контейнер попаде не бiльше 100 виробiв.

10. На вiдрiзку довжиною 15 см випадковим чином вибираються 2 точки. Знайти ймовiрнiсть того, що вiдстань мiж цими точками бiльше 7 см.

11. Вiдстань мiж пунктами M i N лiтак долає за 1 год., а поїзд за 18 год. Поїзд у випадковий момент часу вiдправився з M в N . Знайти ймовiрнiсть того, що черговий лiтак прибуде в N ранiше поїзда, якщо мiж M i N здiйснюється один щоденний рейс

в один i той же час.

12. Кожен з трьох контролерiв перевiряє на протязi години не бiльше 10 виробiв. Знайти ймовiрнiсть того, що сумарна кiлькiсть виробiв, перевiрених цими контроле- рами на протязi години, виявиться бiльше 10.

13. Два пароплави повиннi прибути до одного i того ж причалу. Час прибуття обох пароплавiв незалежний i рiвноможливий на протязi 6 год. Знайти ймовiрнiсть того, що жоден з пароплавiв не буде чекати звiльнення причалу, якщо час стоянки кожного пароплаву одна година.

^{14. Два дiйснi числа a i b випадковим чином вибираються з iнтервалу (−1; 1).}

^{Знайти ймовiрнiсть того, що рiвняння x2 + ax + b = 0 має дiйснi коренi рiзних знакiв.}

15. Два дiйснi числа вибираються випадковим чином з вiдрiзка [0; 1]. Знайти ймо-

² _.

вiрнiсть того, що їх сума не бiльше 1, а добуток не менше

9

16. Два лiтаки прибувають в аеропорт у випадковi моменти часу вiд 15⁰⁰ до 15³⁰ .

Розвантаження обох лiтакiв виконує одна бригада працiвникiв. Знайти ймовiрнiсть