Лекция 1

Тема 1.1. Задачи оптимизации (2 час.)

Определение границ системы. Независимые переменные и модель системы. Основные понятия. Некоторые примеры.

1.1.1.Основные понятия

Всвоей жизни человек часто сталкивается с ситуацией, когда ему из некоторой

совокупности возможных вариантов своего поведения или принятия решения в какойлибо области деятельности необходимо выбрать один вариант. Наилучший вариант поведения (принятие наилучшего решения) можно выбирать по-разному. Если такой выбор предусматривает проведение количественного анализа ситуации путем сравнения различных вариантов с помощью какой-либо количественной оценки этих вариантов, то говорят о необходимости решения задачи оптимизации (по латыни optimus — наилучший). Ясно, что задача оптимизации имеет смысл, если есть несколько возможных вариантов ее решения. Эти варианты обычно называют альтернативами. По содержанию задачи оптимизации весьма разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий, наконец, с решением проблем, возникающих в повседневной жизни человека. Всевозможные устройства, процессы и ситуации, применительно к которым предстоит решать задачу оптимизации, объединим общим названием объект оптимизации.

Обычно человек хочет сделать „как лучше", но, чтобы не получить плохой результат при самых хороших намерениях, для решения задачи оптимизации нужно прежде всего найти ответы на следующие вопросы:

-Что значит „лучше"?

-Что конкретно нужно улучшить?

-За счет чего можно добиться улучшения, что можно изменить?

-В каких пределах можно производить изменения?

Отвечая на первый вопрос, необходимо сформулировать критерий оптимальности, т.е. определить те признаки и предпочтения, по которым следует провести сравнительную оценку альтернатив и выбрать среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации. Именно с этой точки зрения можно ответить на второй вопрос: что

1

конкретно нужно улучшить? Это может быть повышение производительности станка или срока службы технического устройства, снижение массы конструкции летательного аппарата или затрат на его производство и т.п. Для ответа на два последних вопроса необходимо располагать математической моделью объекта оптимизации. Эта модель описывает объект при помощи соотношений между величинами, характеризующими его свойства. Обычно хотя бы часть этих величин можно изменять в некоторых пределах, что и порождает множество альтернатив, среди которых и предстоит выбрать наилучшую. Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации, а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, — ограничениями. Эти ограничения

конечномерного линейного пространства, то говорят о конечномерной задаче оптимизации в отличие от бесконечномерных задач, которые рассматривают в вариационном исчислении. При этом критерием оптимальности может быть требование

количественно меру достижения цели оптимизации рассматриваемого объекта. Каждую из таких функций принято называть целевой. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей математического программирования, а в противном случае — задачей многокритериальной (векторной) оптимизации. В дальнейшем ограничимся рассмотрением задач математического программирования и методов их решения.

Если целевая функция и ограничения являются линейными относительно параметров оптимизации, то говорят о задаче линейного программирования. Одну из первых таких задач сформулировал и решил Л.В. Канторович*. Задача Канторовича была связана с выбором оптимальной производственной программы, что и объясняет появление в названии этого класса задач слова „программирование". При нелинейной зависимости целевой функции или ограничений от параметров оптимизации говорят о задаче нелинейного программирования.

1.1.2. Некоторые примеры

Пример 1.1.1. Найдем стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R имеющего наибольшую площадь S (рис. 1.1).

2

Эта задача известна с глубокой древности, и ее нетрудно решить геометрическим путем. Диагональ вписанного в окружность прямоугольника является диаметром окружности и имеет фиксированную длину. Площадь S прямоугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла ср между диагоналями, т.е. S = 2R2 sin(φ). Ясно, что эта площадь будет наибольшей при sin(φ) = 1, или при φ = π/2. В этом случае диагонали прямоугольника перпендикулярны, а сам прямоугольник представляет собой квадрат. Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, вписанным в

равенства, нелинейные по отношению к этим параметрам. Поэтому рассматриваемую задачу оптимизации следует отнести к задачам нелинейного программирования. Ее математическую формулировку можно представить в виде

{

Эту задачу можно решить одним из известных стандартных путей: либо использовать формальную процедуру поиска условного экстремума функции S = a*b двух переменных с одним уравнением связи, построив функцию Лагранжа, либо выразить при помощи ограничения одно переменное через другое и перейти к поиску экстремума функции одного переменного. В итоге получаем, что S достигает наибольшего значения S* = 2 R2 при условии а = b, т.е. когда прямоугольник является квадратом, причем a = b = R√ .

Пример 1.1.2. {задача Евклида). В заданный треугольник ABC с высотой Н и основанием b вписать параллелограмм наибольшей площади, стороны которого параллельны двум сторонам треугольника (рис. 1.2).

Критерием оптимальности в этой задаче является достижение площадью параллелограмма наибольшего значения, а ограничения связаны с условиями параллельности сторон и размещения параллельности и размещения параллелограмма в пределах заданного треугольника.

Выберем прямоугольную систему координат, совместив ее начало с общей вершиной параллелограмма и треугольника (вершина А на рис. 1.2), а ось абсцисс — с одной из сторон треугольника. В качестве параметров оптимизации выберем основание х параллелограмма и его высоту h. Тогда площадь S параллелограмма можно записать в виде S = hx, а условие, что параллелограмм вписан в треугольник, — как ограничение

3

типа равенства (Н — h)/H = x/b, которое вытекает из подобия треугольников DBE и ABC. Итак, имеем задачу оптимизации

{

Эту задачу также можно решить стандартными способами (см. пример 1.1). Ее решением является параллелограмм с основанием х* = b/2 и высотой h* = (1 — х*/b)Н = Н/2. Отметим, что выбор вершины треугольника, с которой совпадает вершина параллелограмма, не является существенным, так как в любом из трех вариантов выбора вершины треугольника площадь параллелограмма максимальной площади равна половине площади треугольника ABC.

1.1.3. Задачи оптимального планирования

Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценке альтернатив, связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть методом „затраты — эффективность". Применение этого подхода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при ограниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, критерием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода.

Пример 1.1.3. Предположим, что предприятие может выпускать продукцию n наименований, для производства которой требуется m видов ресурсов (сырья, энергии,

располагаемых ресурсов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно. Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы нижняя aj и верхняя Aj границы объема выпуска продукции, то можно записать ограничения типа неравенства

∑ bi , i = , aj ≤ xj ≤ Aj, j = .

Если эффективность производства продукции характеризовать суммарной выручкой от продажи продукции, то оптимальный план х = (х1 , x2, …, xn) выпуска продукции должен удовлетворять этим ограничениям и обеспечивать максимум целевой функции

функция, и ограничения линейны относительно параметров оптимизации хj, j = Поэтому рассмотренная задача оптимального планирования выпуска продукции является задачей линейного программирования.

Пример 1.1.4. (транспортная задача). Пусть необходимо составить план перевозок некоторого товара с m складов в n магазинов так, чтобы затраты на эти перевозки были

4

магазин, j = , п, сделал заказ на bj единиц этого товара, причем стоимость его перевозки с i-го склада в j-й магазин равна cij. Обозначим через xij планируемое количество товара, перевозимое с i-го склада в j-й магазин, тогда стоимость его перевозки составит cij xij. Общие затраты на перевозки — это сумма затрат на перевозки со всех складов во все магазины. Поэтому оптимальный план перевозок соответствует минимуму целевой функции

что должно быть достигнуто выбором mn значений xij ≥ 0, которые в данном случае являются параметрами оптимизации. Но при этом необходимо обеспечить потребности магазинов, т.е. должны быть выполнены ограничения типа равенства

Однако с любого склада нельзя вывезти товара больше, чем там его находится. Следовательно, должны быть выполнены ограничения типа неравенства

Отметим, что сформулированная задача оптимизации, относящаяся к классу задач линейного программирования, имеет решение, если сумма заказов магазинов не превышает суммарного запаса товара на всех складах, т.е.

5