Гидростатика Гидростатическое давление и его свойство
Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практические приложения.
Как следует из гл. 1, жидкости практически не способны сопротивляться растяжению, а в неподвижных жидкостях не действуют касательные силы. Поэтому на неподвижную жидкость из поверхностных сил могут действовать только силы давления; причем на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и, следовательно, являются сжимающими. Под внешней поверхностью жидкости понимают не только поверхность раздела жидкости с газообразной средой или твердыми стенками, но и поверхность объема, мысленно выделяемого из общего объема жидкости.
Таким образом, в неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление.
Рассмотрим основное свойство гидростатического давления: в любой точке жидкости гидростатическое давление не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, т. е. от углов ее наклона по отношению к координатным осям.
Для
доказательства этого свойства выделим
в неподвижной жидкости элементарный
объем в форме тетраэдра с ребрами,
параллельными координатным осям и
соответственно равными
,
и
(рис.2.1).
Пусть внутри выделенного объема на
жидкость действует единичная массовая
сила, составляющие которой равны
,
и
.
Обозначим через
гидростатическое давление, действующее
на грань, нормальную к оси
,
через
—
давление
на грань, нормальную к оси
,
и
т. д. Гидростатическое давление,
действующее на наклонную грань, обозначим
через
,
а
площадь этой грани через
.
Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости сначала в направлении оси , учитывая при этом, что все силы направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости.
Рис. 1.4 Элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными , и
Проекция сил давления на ось :
Масса
жидкости в тетраэдре равна произведению
ее объема на плотность, т. е.
,
следовательно,
массовая сила, действующая на тетраэдр
вдоль оси
,
составляет
.
Уравнение равновесия тетраэдра запишем в виде:
.
Разделив
это уравнение на площадь
,
которая
равна площади проекции наклонной грани
на плоскость
,
т.
е.
,
получим
При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель , также стремится к нулю, а давления и остаются величинами конечными. Следовательно, в пределе получим
Аналогично
составляя уравнения равновесия вдоль
осей
и
,
находим
,
или
(2.1)
Так как размеры тетраэдра , и взяты произвольно, то и наклон площадки произволен и, следовательно, в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Это положение можно легко свойства гидростатического давления доказать, основываясь на формулах сопротивления материалов для напряжений при сжатии по двум и трем взаимно перпендикулярным направлениям. Для этого положим в указанных формулах касательное напряжение равным нулю, в результате чего получим
.
Рассмотренное свойство давления в неподвижной жидкости имеет место также при движении невязкой жидкости. При движении же реальной жидкости возникают касательные напряжения, вследствие чего давление в реальной жидкости указанным свойством, строго говоря, не обладает.