Цилиндрические координаты .
Положение
точки
в пространстве xyz
однозначно определяется заданием трех
чисел
.
Эти числа
называются цилиндрическими координатами
и они связаны с прямоугольными
соотношением:
(7)
Граница изменения цилиндрических координат:
Координатные поверхности.
- полуплоскости,
проходящие через ось OZ.
- цилиндрические
поверхности (образующие параллельны
оси OZ,
направляющие – это окружности в плоскости
OXY
с центром в точке O).
- плоскости,
параллельные плоскости OXY.
Найдем Якобиан.
.
Очевидно,
отображение (7) – регулярно в
за исключением множества
,
но
этого множества =0
теорема о замене переменных применима.
Если функция
,
то будет иметь место формула:
ПРИМЕР.
Вычислить
.
ограничено
поверхностями
.
=
=
.
Сферические координаты.
Числа
называются сферическими координатами
точки
.
- радиус вектор;
- широта;
- долгота;
(8)
Границы изменения сферических координат:
Координатные поверхности:
- сферы с центром в точке O.
- круговые полуконусы
с осью OZ.
- полуплоскости, проходящие через ось OZ.
Вычислим Якобиан.
=(раскладываем
по элементам третий строки)=
=
=
.
Очевидно,
отображение (8) регулярно за исключением
множества
.
Однако объем этих поверхностей =0
применима
теорема о замене переменных.
Если , то:
=
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Если
сферические координаты
и
берутся при условиях
.
Формулы, связывающие декартовы и сферические координаты нетрудно установить из чертежа.
Имеем:
Чтобы
вернуться к формулам (8) (если широта
отсчитывается от оси OZ
следует заменить
на
).
и
(вычислить самостоятельно).
ПРИМЕР.
Расставить пределы интегрирования в сферической системе координат.
,
где
- ограниченная поверхность.
;
,
т.к.
.
;
.
§ 11.8 Геометрические и механические приложения кратных интегралов.
Мера множества (площадь, объем).
Пусть
,
- измеримое
(доказательство смотри раньше, приняв
):
при n=2
;
при n=3
.
Для определенного интеграла:
а) Пусть - каноническая область I-го типа (смотри ранее).
.
Аналогично для - каноническая область II-го типа:
.
б
)
Пусть
- криволинейный сектор
.
Тогда:
.
Если область охватывает начало координат:
.
б’) Объем цилиндрического тела.
и однозначна.
в) Если
и имеет непрерывные частные производные
в области
,
то
:
1)
,
где
- проекция на
плоскость XOY.
2)
:
,
-
проекция на плоскость XOZ.
3)
:
,
- проекция на плоскость YOZ.
4)
Случай
неявного задания поверхности:
.
Площадь
,
заданной уравнением
выражается интегралом:
5) Случай параметрического задания поверхности.
Если уравнение поверхности задано параметрически:
,
где
,
- ограниченная область, в которой функции
непрерывно-дифференцируемы, то:
где
и
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Площадь поверхности в полярных координатах:
.
6)
Пусть
- тело с заданной площадью поперечного
сечения.
.
7
)
Пусть
- тело, полученное вращением криволинейной
трапеции вокруг оси OX.
.
Из 6
следует, что
.
8) Объем - цилиндроида (см. ранее).
.