Теорема. Основное свойстве движений.

Результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости.

Доказательство Утверждение той теоремы очевидно. По сути, надо лишь разъяснить ее формулировку.

Пусть в результате первого движения тока A переходит в точку A', а в результате второго точка A' переходит в точку A''. Два этих движения можно заменить одним преобразованием, переводящим точку A непосредственно в точку A''. Различные точки плоскости при этом переходят в различные точки, поэтому мы на самом деле получили преобразование плоскости. Осталось доказать, что построенное таким образом преобразование является движением.

Рассмотрим две различные точки плоскости A и B, переходящие после первого движения соответственно в точки A' и B'. Пусть точки A' и B' в результате второго движения переходят соответственно в точки A'' и B''. Так как AB = A'B'= A''B'', то преобразование, переводящее A и B в A'' и B'', является движением. (Ведь A и B - две любые точки плоскости.) t

28/ Свойства движений.

1. При движении три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

2. При движении любой отрезок отображается на отрезок, причём концы отрезка переходят в концы его образа.

3. При движении прямая отображается на прямую и параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

4. При движении луч отображается на луч.

5. При движении угол отображается на равный ему угол.

6. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

7. При движении окружность отображается на окружность того же радиуса.

29/ Два вида движений

Аналитическое задание движений

Определение: Говоря, что два репера одинаково ориентированы, если они имеют однозначные базисы, и противоположно ориентированы, если базисы также противоположны.

О пределение: Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию, если при этом преобразовании соответствующие реперы одинаково ориентированы и. наоборот, меняет ориентацию если соответствующие реперы противоположно ориентированы.

I. Движение не меняющее ориентацию. Эти движения можно задать формулой вида:

.

II. Движение задается аналогично формулой с противоположными знаками.

.

Обе формулы можно объединить в единую запись.

Можно показать, что все известные нам движения имеют формулу, имеющую частную формулу общей.

— движение II рода.

Можно доказать, что перенос, поворот и центр симметрии является движением I рода.

Теорема: Если некоторое преобразование плоскости может быть задано формулой вида.

,

тогда, если матрица ортогональная, то преобразование является движением. Под ортогональной понимаем матрицу, определитель которой равен .

Пример: Пусть на ориентированной плоскости задан угол поворота, зная координаты двух соответствующих точек в заданном репере рассмотрим частный случай, когда центр поворота совпадает с началом координат.

Дано:

.

— ?

30. Инвариантные точки и прямые. Классификация движений

ТОЧКА ИНВАРИАНТНАЯ

— точка на физико-хим. диаграмме, соответствующая инвариантному равновесию фаз, характеризующемуся строго определенными постоянными значениями всех интенсивных параметров состояния системы (температура, давление, хим. потенциалы компонентов). Частный случай Т. и. — точка тройная. Инвариантные прямые - это прямые, все точки которых после аффинного преобразования остаются принадлежащими данной прямой. То есть если точка с координатами (x, y) принадлежит прямой, то и точка (x*, y*) также принадлежит данной прямой.

Классификация движений плоскости

Определение: Точка плоскости инвариантной (неподвижной), если при данном преобразовании она переходит в себя.

Пример: При центральной симметрии инвариантной является точка центра симметрии. При повороте инвариантной является точка центра поворота. При осевой симметрии инвариантной является прямая — ось симметрии — это прямая инвариантных точек.

Теорема: Если движение не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одно инвариантное направление.

Пример: Параллельный перенос. Действительно, прямые, параллельные этому направлению инвариантных как фигура в целом, хотя не состоит из инвариантных точек.

Теорема: Если движется какой-то луч, луч переводит в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо симметрия относительно прямой содержащей данный луч.

Поэтому по наличию инвариантных точек или фигур можно провести классификацию движений.

Название движения	Инвариантные точки	Инвариантные прямые
Движение I рода.
1. - поворота	(центр) - 0	нет
2. Тождественное преобразование	все точки плоскости	все прямые
3. Центральная симметрия	точка 0 - центр	все прямые, проходящие через точку 0
4. Параллельный перенос	нет	все прямые
Движение II рода.
5. Осевая симметрия.	множество точек	ось симметрии (прямая ) все прямые