26. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований

В геометрии приходится производить не одно, а несколько преобразований, следующих друг за другом. Случай, когда рассматривается совокупность преобразований, обладающая тем свойством, что каждую конечную последовательность преобразований этой совокупности можно заменить одним преобразованием той же совокупности, и преобразование, обратное любому из рассматриваемых преобразований, снова принадлежит данной совокупности. Это называется - группа преобразований. Рассмотрение группы преобразований позволяет выделить ряд геометрических свойств. Знание свойств, не меняющихся при преобразованиях той или иной группы, часто позволяет упростить решение конкретных геометрических задач.

Определение. Преобразованием фигуры называется любое биективное отображение фигуры на себя.

Теорема (о группе преобразований). Множество W всех преобразований фигуры есть группа.

Следствие. Множество всех преобразований плоскости является группой преобразований относительно композиции преобразований.

Определение. Подгруппой V группы W называется подмножество V множества W, являющееся группой относительно бинарной операции, определенной в W.

Теорема (о подгруппе). Для того чтобы подмножество V группы W было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:

Если W, W, то V.

Если V, то V

27/ Движение плоскости

Будем говорить, что задано преобразование плоскости, если указан способ, с помощью которого каждой точке A плоскости ставится в соответствие точка A' этой же плоскости. (Это означает, что в результате преобразования точка A переходит в точку A'.) При этом различным точкам A и B соответствуют различные точки A' и B'.

Среди различных видов преобразований плоскости выделим и рассмотрим в первую очередь движения плоскости.

Что такое движение плоскости?

Возьмем на плоскости какой-нибудь треугольник и намнем его передвигать по плоскости как твердое тело. В результате такого перемещения определенным образом передвинутся и все его внутренние точки, но не только они. Перемещение треугольника задает перемещение любой точки плоскости. Каждую точку плоскости можно рассматривать как бы жестко связанной с данным треугольником. Зная все три расстояния от некоторой точки плоскости до вершин исходного треугольника, мы без труда определим точку, в которую она перейдет в результате перемещения треугольника.

Заметим, что треугольник может не только передвигаться вдоль поверхности плоскости. Он может быть повернут обратной стороной и перемещаться в таком виде. Преобразование, задаваемое таким образом при перемещении треугольника, является движением.

Дадим более четкое определение движения плоскости.

Движением называется такое преобразование плоскости, которое не меняет расстояние между парами точек, т. е. если точки A и B в результате движения переходят в точки A' и B', то AB = A'B'.

Примером движения является рассмотренная нами в начале курса осевая симметрия. Как будет показано в дальнейшем, осевая симметрия является основным видом движения плоскости и любое движение может быть сведено к нескольким осевым симметриям.

Отметим одно очевидное свойство движения, следующее из определения.