23. Угол между плоскостями

Р ассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

24. Вычисление расстояния между двумя прямыми.

Расстояние между прямыми

Расстояние между двумя пересекающимися прямыми равно нулю.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра (такой отрезок единственный).
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой, или расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

25. Отображение и преобразование множеств (инъекция, сюръекция, биекция и их примеры).

Основные понятия: множество, отображение множеств — (частный случай соответствия).

Определение: Преобразованием множества называется взаимнооднозначное отображение множества на себя (1).

Определение: Отображение множества на себя, которое является одновременно инъективным, т.е. биекция, называется преобразованием множества, т.е. преобразование — это биекция множества на себя.

Определение: Инъекция — это такое отображение f, при котором для любых

.

— инъекцией не является.

— инъекция.

Определение: Сюръекция — это такое отображение множества на множество , при котором каждая точка множества является, по крайней мере, образом одной точки множества : , т.е. для любого существует такое что

Инъекция — это «отображение »

Сюръекция — это «отображение на »

Отображение, которое одновременно инъективно и сюръективно — биективно.

Биекция: для любого существует единственное ; .

В частности выделяют преобразования точек плоскости, как биекцию точек плоскости на себя.

Пример:

1. Симметрия центральная

1. — движение, т.к.

2. .

3. .

4.

5. Для любого существует единственное , если ,

6.

5. — свидетельство того, что при центральной симметрии есть неподвижная единственная точка 0 — центр симметрии.

6. — координатное задание центральной симметрии (аналитическое).

2. Осевая симметрия , где — прямая (ось).

3. Параллельный перенос .

4. Поворот (вращение) — 0 центр, — угол.

если , то любая — тождественное преобразование

центральная симметрия не является тождественным преобразованием.

Среди центральной и осевой симметрией нет тождественных преобразований, параллельный перенос на нулевое расстояние является тождественным преобразованием.

Среди поворотов есть тождественное преобразование (на нулевой угол).