Политропные процессы

Полишропными называются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости и удовлетворяющие уравнению pυⁿ = = const, где n – показатель политропы; он может быть любым, но постоянным для данного процесса числом (все рассмотренные ранее процессы являются частными случаями политропных процессов).

Уравнение политропы pυⁿ = const можно представить и в виде: p^1/n υ= const. При определенных значениях n уравнение политропы соответствует уравнениям четырех основных термодинамических процессов:

n = ±∞; υ = const;

n = 0; р = const;

n = l; pυ = const;

n = k; pυ^k = const.

Так как уравнение политропного процесса сходно с уравнением адиабатного процесса, то соотношения между параметрами состояния в политропном процессе будут такими же, как в адиабатном:

p₁/p₂ = (υ₁/υ₂)ⁿ; T₂/T₁ = (υ₁/υ₂)^{n – 1}; T₂/T₁ = (р₁/р₂)^{(n – 1)/n}

Аналогичным будет и уравнение работы газа в политропном процессе

a = (p₁υ₁ – p₂υ₂)/(n – 1) = R(T₁ – T₂)/(n – 1)

Располагаемая работа политропного процесса a_o= na. Т

Так как c_υ = R/(n – 1) и R = c_υ(k – 1), теплота политропного процесса по первому закону термодинамики

q = Δu + a = с_υ{Т₂ – T₁) + R(T₁ – T₂)/(n – 1) = c_υ[(n – k)/(n – l)](T^,₂ –T₁).

Теплота политропного процесса

q = с(T₂ – T₁),

где с – теплоемкость политропного процесса/ равенств (27) и (28) следует, что

с = с_υ[(n – k)/(n –1)].

Из последнего уравнения

п = (с – с_р)/(с – с_υ).

Если все рассмотренные термодинамические процессы представить в системе координат pυ (рисунок 3.8), то можно установить следующее. Термодинамические процессы (процессы расширения) при –∞ < n < 1 характеризующиеся кривыми, расположенными на рисунке выше изотермы (n = 1), протекают с повышением температуры, а при 1 < п < +∞ – с понижением температуры

Рисунок 3.9 – Диаграмма политропных процессов

Первое начало термодинамики

Q = A + ΔU Теплота Q, сообщенная идеальному

газу, расходуется на совершение

работы А и приращения внутренней

энергии ΔU

Задачи

3.1 Воздух расширяется в процессе р = 0,5 МПа = cоnst, при этом его объем изменяется от 0,35 до 1,8 м³. Температура в конце расширения равна 1500 ºС. Определить температуру воздуха в начале процесса расширения, подведенное количество теплоты, работу, совершенную в этом процессе, изменения внутренней энергии и энтальпии воздуха.

Решение.

Температура воздуха в начале изобарного расширения

Т₁ = Т₂V₁/V₂ = 1773·0,35/1,8 = 345 К

Масса воздуха

m = pV₁/(RT₁) = 500·0,35/(0,287·345) = 1,77 кг

Подведенное количество теплоты

Q_p = mc_p(T₂ – T₁) = 1,77·1,005(1773 – 345) = 2540 кДж

Совершенная работа

A = p(V₂ – V₁) = 500(1,8 – 0,35) = 725 кДж

Изменение внутренней энергии

ΔU = mc_υ(T₂ – T₁) = 1,77·0,718(1773 – 345) = 1815 кДж

Изменение энтальпии

ΔI = Q_p = 2540 rL;

3.2 Определить расход охлаждающей воды через промежуточный холодильник компрессора, если в результате охлаждения сжатого воздуха до 17 ºС при р = const его плотность увеличивается в 1,4 раза, а температура воды при этом возрастает на 20 К. Объемная подача компрессора при н.у. V^н = 350 м³/ч.

3.3 В камере сгорания при р = const сжигается топливо с удельной теплотой сгорания 42000 кДж/кг. Определить расход топлива, если расход поступающего в камеру сгорания воздуха 40 кг/с, температура воздуха и энтальпия топлива на входе 290 ºС и 200 кДж/кг, температура газов на выходе 650 ºС. Считать, что физические свойства газов и воздуха одинаковы. Потерями теплоты пренебречь.

3.4 В регенераторе ГТУ теплота продуктов сгорания топлива передается воздуху, температура которого повышается от t₁ = 20 ºC до t₂ = 350 ºС при р = const = 990 гПа. Определить объем нагретого воздуха и изменение его внутренней энергии за 1 ч, а также массовый расход (кг/ч) продуктов сгорания, если объемный расход воздуха, отнесенный к н.у., составляет V^н_в = 8000 м³/ч, изменение температуры продуктов сгорания в теплообменнике Δt_г = 350, а средняя теплоемкость продуктов сгорания с_рг = 1,12 кДж/(кг·К).

Решение.

Массовый расход воздуха

М_в = р^нV^н_в/(R_вТ^н) = 101,3·8000/0,287·273 = 10343 кг/ч

Объем нагретого воздуха

V_2в = М_вRT₂/p = 10343·0,287(350 + 273)/99 = 18680 м³/ч

Изменение внутренний энергии воздуха

ΔU = c_υвМ_в(t₂ – t₁) = 0,71·10343(350 – 20) = 2,42·10⁶ кДж/ч

Количество теплоты, подводимое к воздуху

Q = c_pвМ_в(t₂ – t₁) = 1,005·10343(350 – 20) = 3,43·10⁶ кДж/ч

Расход продуктов сгорания определяется из условия

М_вс_рвΔТ_в = 3,43·10⁶/(1,12·350) = 8750 кг/ч

3.5 На сжатие 5 кг азота (N₂) при t = 100 ºС затрачена работа 1800 кДж. Определить давление и объем, занимаемый азотом в конце сжатия, если начальное давление р₁ = 0,25 МПа.

3.6 В процессе подвода теплоты рабочее тело (СО₂) расширяется в три раза при t = 650 ºС = const до давления 5 МПа. Определить начальное давление и плотность рабочего тела, а также подведенное количество теплоты, если массовый расход углекислого газа составляет 1000 кг/ч.

3.7 В компрессоре сжимается 300 м³/ч (н.у.) воздуха при t = 30 ºС = const. Начальное давление воздуха 0,2 МПа, мощность, потребляемая компрессором, 12 кВт. Определить давление и плотность воздуха в конце сжатия и расход воды на охлаждение цилиндров, если вода нагревается на 20 К.

Решение.

Массовый расход воздуха

М = р^нV^н/(RT^н) = 101,33·300/(0,287·273) = 388 кг/ч = 0,108 кг/с

Работа, затрачиваемая компрессором при изотермическом сжатии

а_к = RT[ln(p₁/p₂)] = N_к/М = 12/0,108 = 111,3 кДж/кг,

откуда давление воздуха в конце сжатия

р₂ = р₁е^{ак /(RT)} = 0,2е^{111,3/(0,287·303)} = 0,72 МПа

Плотность воздуха в конце сжтия

ρ₂ = р₂/(RT) = 720/(0,287·303) = 8,28 кг/м³

Уравнение теплового баланса цилиндров компрессора Мq = mc_вΔТ_в, откуда расход охлаждающей воды

m = Mq/(c_вΔТ_в) = 0,108·111,3/(4,19·20) = 0,143 кг/с

Здесь q = a = 111,3 кДж/кг – количество теплоты, которое необходимо отвести от цилиндров компрессора; с_в и ΔТ_в – теплоемкость и перепад температуры воды.

3.8 При изотермическом расширении 0,25 кг кислорода в цилиндре поршневой машины давление понижается от 12,5 до 5,6 МПа, а поршень перемещается на 50 мм. Определить температуру кислорода, подведенное количество теплоты и произведенную работу, если диаметр цилиндра равен 220 мм.

3.9 Воздух массой 1 кг при давлении р₁ = 0,1 МПа и температуре t₁ = 30 ºС сначала сжимается изотермически до давления р₂ = 1 МПа, затем расширяется при постоянном давлении до десятикратного объема, после чего, охлаждаясь при постоянном объеме, принимает первоначальное состояние. Определить параметры воздуха в начале и в конце каждого процесса, а также для каждого процесса изменение внутренней энергии и энтальпии, работу и количество теплоты. Изобразить изменение состояния воздуха в координатах υ, р и s, Т.

3.10 Воздух массой 0,5 кг при давлении р₁ = 0,2 МПа занимает объем V₁ = 0,4 м³. Воздух изотермически нагревается так, что в конечном состоянии его давление становится равным первоначальному. Суммарное количество теплоты, подводимое к газу в процессах T = const и υ = const, равно 370,5 кДж. Определить работу, совершенную воздухом в указанном процессе и параметры воздуха в конце изотермического расширения.

3.11 В поршневом детандере (расширительной машине) установки глубокого охлаждения политропно расширяется воздух от начального давления р₁ = 20 МПа и температуры t₁ = 20 ºС до конечного давления р₂ = 1,6 МПа. Показатель политропы n = 1,25. Определить параметры воздуха в конце расширения, удельные значения изменения внутренней энергии и энтальпии, количество теплоты, работы процесса и располагаемой работы.

Решение

Параметры воздуха в конце расширения

T₂/T₁ = (р₁/р₂)^{(n – 1)/n}, откуда Т₂ = Т₁(р₂/р₁)^{(n – 1)/n} =

293(1,6/20)^{(1,25 – 1)/1,25} = 177 К

υ₂ = RT₂/р₂ = 0,287·177/1600 = 0,032 м³/кг

Изменение внутренней энергии и энтальпии

Δu = c_υ(T₂ – T₁) = 0,71(177 – 293) = – 82,4 кДж/кг

Δi = c_p(T₂ – T₁) = 1,005(177 – 293) = –116,6 кДж/кг

Количество теплоты

q = c_υ(n – k) (T₂ – T₁)/(n – 1) = 0,71(1,25 – 1,41)·(177 – 293)/(1,25 – 1) = 52,7 кДж/кг

Работа процесса

a = R(T₁ – T₂)/(n – 1) = 0,287(293 – 177)/(1,25 – 1) = 133 кДж/кг

Располагаемая работа

a_o = na = 1,25·133 = 166,4 кДж/кг.