Двоичная система счисления
Двоичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1.
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
Простота создания таблиц сложения и умножения – основных действий над числами
Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления
Десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная: 0, 1
Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Правила перевода
Правила перевода чисел из десятичной системы в двоичную:
целая и дробная часть переводятся порознь,
для перевода целой части числа ее необходимо разделить на основание системы, т.е. на 2 и продолжить делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0,
значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности образуют искомое двоичное число.
Например: 25(10) = 11001(2)
25 / 2 = 12 остаток (1)
12 / 2 = 6 (0)
6 / 2 = 3 (0)
3 / 2 = 1 ( 1)
1 / 2 = 0 (1)
Для перевода дробной части надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем дробную часть у полученного результата вновь умножают на 2 и т.д.
Например: 0,73 (10) = 0,1011(2)
0,73 * 2 = 1,46 целая часть (1)
0,46 * 2 = 0,92 (0)
0,92 * 2 = 1,84 (1)
0,84 * 2 = 1,68 (1)
Перевод
из
десятичной системы счисления в систему
счисления с основанием p
осуществляется последовательным
делением десятичного числа и его
десятичных частных на p, а затем
выписыванием последнего частного и
остатков в обратном порядке.
Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления.
1101 (2) =1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20
341,5 (8) = 3*82 + 4*81 + 1*80 5*8–1
A1F,4 (16) = 10*162 + 1*161 +15*160 + 4*16–1
4602(7)=4*73+6*72+0*71+2*70=1668(10).
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную производится аналогично переводу в двоичную, но при использовании соответствующего основания.
Например: 58,32(10) = 72,243(8)
58 / 8 = 7 остаток (2) 0,32 * 8 = 2,56 целое (2)
7 / 8 = 0 (7) 0,56 * 8 = 4,48 (4)
0,48 * 8 = 3,84 (3)