7. Определение точек бифуркации.

8. Построение фазовых портретов, рассчитанных закономерностей. Трехмерная визуализация.

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.

Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных сочетаний системы и типах возможных движений в ней.

На фазовом портрете представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового портрета.

Сущность понятия фазового портрета заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы — перемещением этой точки.

Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.

Метод дифференциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.

Метод изоклин - это метод линий постоянного наклона.

Метод фазовой плоскости

Графоаналитический метод исследования динамических систем, описываемых уравнениями вида:

 ,  , где х и у – переменные состояния системы,

Р (х,у) и Q (х,у) – функции, удовлетворяющие условиям теорем существования и единственности решений, t – время (независимая переменная). Поведение такой системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамической системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамической системы. Плоскость Оху - фазовая плоскость.

На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий:

1) особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений:

Р (х, у) = 0, Q (х, y) = 0;

2) изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе;

3) сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов.

Метод фазовой плоскости состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета.

Трехмерная визуализация

Очень важным аспектом является репрезентативность данных результатов, особенно в случае качественного анализа математических нелинейных динамических систем.

Нелинейная хаотическая динамика занимается изучением процесса перехода от регулярного поведения к нерегулярному в динамических системах, описывающих какой-либо реальный объект (физический, химический, экономический, социальный и т.д.) языком математики; в большинстве случаев дифференциальными уравнениями. В настоящее время развитие теории хаотической динамики зашло в некоторый тупик, связанный с использованием аналитических методов качественной теории дифференциальных уравнений для нелинейных задач. Так, достаточно сложно, а порой невозможно, построить даже общее решение для системы из двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не говоря уже о более сложных примерах. В процессе численного исследования нелинейных динамических систем встает ряд трудностей анализа и обработки полученных данных, что тесно связано с представлением данных численного исследования в удобном и репрезентативном для человека виде.

Хорошо визуализированные численные результаты могут дать огромное количество информации относительно исследуемой нелинейной системы, аналитическое решение которой невозможно или требует десятки лет работы. Позднее эти результаты могут быть использованы теоретиками, например, для построения гипотез и обобщения.