Часть 2

С1. Решите уравнение и найдите корни, принадлежащие отрезку .

С2. В правильной шестиугольной пирамиде , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями и .

С3. Решите систему неравенств

С4. В равнобедренную трапецию с периметром вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в отношении . Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его площадь.

С5. Найдите все значения , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

С6. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, первый член которой меньше , не содержит ни одного числа вида . Какое наименьшее значение может принимать сумма с третьего по десятый член этой прогрессии?

ВАРИАНТ 2

Часть 1

В1. В квартире, где проживает Марина, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 августа счётчик показывал расход 175 куб.м воды, а 1 сентября — 183 куб.м. Какую сумму должна заплатить Марина за холодную воду за август, если цена 1 куб.м холодной воды составляет 20 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.

В2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

В3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В4. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены , показателей функциональности , качества и дизайна . Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле . В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических мясорубок. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических мясорубок.

Модель мясорубки	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
А	5300	2	1	1
Б	5900	1	2	3
В	5200	4	2	4
Г	4700	0	0	2

В5. Найдите корень уравнения .

В6. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

В7. Найдите , если .

В8. На рисунке изображен график – производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

В9. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности равна 102 . Найдите длину отрезка .

В10. На олимпиаде по математике участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

В11. Объем параллелепипеда равен 102. Найдите объем треугольной пирамиды .

В12. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где – масса экскаватора (в тоннах), – длина балок в метрах, – ширина балок в метрах, – ускорение свободного падения (считайте м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление не должно превышать 220 кПа. Ответ выразите в метрах.

В13. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 12 часов раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 1 час 45 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .