3.2. Механизм переноса твердой фазы турбулентными потоками жидкости

3.2.1. Турбулентный перенос без массообмена с окружающей жидкой средой

Согласно современным представлениям о структуре турбулентного потока жидкости перенос вещества большей частью осуществляется крупномасштабными вихрями. Основными характеристиками турбулентного движения являются: средний размер элементов турбулентности а, путь смешения l и пульсационная составляющая скорости движения жидкости .

В соответствии с полуэмпирической теорией турбулентности, основывающейся на гипотезах Прандтля и Кармана, действительное турбулентное движение может быть заменено некоторым упорядоченным движением. При этом линии тока пульсационного движения пересекают линии тока осредненного движения, проникают из одного слоя осредненного движения в другой и перемешивают жидкость и находящуюся в ней взвешенную твердую фазу.

Допустим, что перенос твердой фазы осуществляется вдоль оси у через элементарную площадку d (рис.3.1).

Рис. 3.1. К пояснению механизма турбулентного переноса твердой фазы

Концентрация твердой фазы вблизи площадки пусть равна с, а скорость частиц относительно среды v направлена вниз. За время dt через эту площадку под действием сил, вызывающих осаждение частиц, пройдет масса твердой фазы, равная vcddt, а за счет турбулентного переноса, при равной вероятности пульсаций сверху и снизу – масса , где и - концентрация твердой фазы в элементах турбулентности вблизи площадки d, соответственно, при движении сверху и снизу.

Общее количество твердой фазы, прошедшее через площадку составит:

, а плотность переноса q , т.е. количество переносимого вещества в единицу времени через единицу площади:

.

Поскольку и , то плотность массопереноса, т.е. количество переносимого вещества в единицу времени через единицу площади равно:

,

где - коэффициент турбулентного переноса жидкости.

Полученное уравнение является уравнением одномерного турбулентного массопереноса. Т.е. массопереноса в направлении градиента концентрации твердой фазы.

3.2.2. Турбулентный перенос с массообменом с окружающей жидкой средой

Если твердые частицы движутся относительно жидкости, то происходит изменение концентрации твердой фазы в движущемся элементе турбулентности за счет массообмена с окружающей его средой. Например, элемент турбулентности из точки 1 (рис.3.1) движется к площадке d с начальной концентрацией твердой фазы . Попадая в нижние слои жидкости с более высокой концентрацией твердой фазы, он дополнительно насыщается частицами. Причем, чем выше скорость частиц v, тем ближе концентрация в элементе турбулентности к концентрации в окружающей среде. Аналогичное явление выравнивания концентраций происходит и при движении элемента турбулентности из точки 2 к площадке d.

Для определения значений концентраций внутри элементов турбулентности представим элементы турбулентности в виде кубов с ребром а (рис.3.1). В связи со сложным движением элементов турбулентности (поступательным и вращательным), эти концентрации должны быть осреднены по объему элементов.

Рассмотрим движение элемента турбулентности сверху вниз. Из окружающей среды за время dt через верхнюю грань в элемент входит твердой фазы , где - расстояние от точки 1 до элемента турбулентности при его движении. А выходит через нижнюю грань . Поскольку направление вектора v совпадает с остью у, то массообмена с окружающей средой через боковые грани не происходит, поэтому скорость изменения концентрации в элементе трубулентности будет:

.

Основываясь на осреднении в пределах l, произведем замену :

.

Данное уравнение является линейным дифференциальным первого порядка, решением которого будет:

.

Обозначим: , . Тогда:

.

Постоянную интегрирования С₁ найдем из начальных условий в точке 1: t=0, . Таким образом,

.

Подстановка С₁, и дает:

.

При движении элемента турбулентности снизу через его верхнюю грань твердой фазы входит , а через нижнюю грань выходит .

Составляя уравнения, аналогичные случаю движения сверху вниз, получаем: .

Производя замену: , , приходим к следующему решению:

.

Постоянную интегрирования С₂ найдем из начальных условий: t=0; , т.е. .

Тогда, после подстановки получаем:

.

Поскольку пульсации равновероятны, то каждый из рассматриваемых элементов турбулентности для достижения площадки должен пройти путь за время .

При подстановке значений и , вычисленных при этом значении времени в первоначальное уравнение массопереноса, получаем:

,

где - параметр, характеризующий структуру турбулентного течения жидкости.

Поскольку произведение представляет собой коэффициент турбулентного переноса жидкости , то коэффициент турбулентного переноса твердой фазы будет определяться выражением:

.

При , т.е., когда скорость частиц стремится к нулю, коэффициент турбулентного переноса твердой фазы равен коэффициенту турбулентного переноса жидкости. С увеличением скорости значение уменьшается и при он стремится к нулю (рис.12).

Рис. 3.2. Зависимость относительного коэффициента турбулентного переноса твердой фазы от скорости частиц

Рассмотренный механизм турбулентного переноса твердой фазы корректен для условия , в противном случае следует рассматривать воздействие элементов турбулентности на твердые частицы с точки зрения изменения их скорости.