1. Классификация численных методов решения дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение и его численное решение. Напомним, что дифференциальным уравнением называется уравнение вида

F(x, y, ,…) = 0, (5.1)

а его решением – такая функция у = у(х), которая при ее подстановке в F обращает уравнение (5.1) в тождество. Максимальный порядок производной в выражении F называется порядком уравнения.

Уравнение (5.1) не имеет однозначного решения. Чтобы однозначно определить решение, требуются дополнительные условия. По типу таких условий различают одноточечные задачи (задачи с начальными условиями или задача Коши) и многоточечные. В первом случае все дополнительные условия задаются в одной, обычно начальной, точке.

Пример 5.1. Дано уравнение 2-го порядка с двумя начальными условиями

В многоточечных задачах дополнительные условия задаются в нескольких точках. Чаще всего – в граничных, тем самым ставится так называемая краевая задача.

Пример 5.2. Дано уравнение 2-го порядка с условиями на концах отрезка определения решения – краевая задача

Задачи обоих примеров имеют одинаковое аналитическое решение у = 1.125 e^2x – 0.125 e^–2x – 2x.

Среди множества задач, связанных с решением дифференциальных уравнений наиболее важной является задача Коши для уравнения 1-го порядка, к ней сводятся многие другие задачи. Поэтому, именно ей будет уделено основное внимание в настоящей теме.

Если аналитическое решение дифференциального уравнения представляет собой некоторое выражение, явно или неявно задающее искомую функцию у(х), то численное решение представляет собой таблицу, определяющую значение у(х) в некоторых заданных узлах х_i. В дальнейшем построенная таблица может быть использована для получения решения в промежуточных точках, например, с применением аппарата аппроксимации функций. В таблице 5.1 приведено численное решение задачи примеров 5.1 и 5.2 в равноотстоящих точках.

Таблица 5.1.
Численное решение примера 5.1
xi	yi	y’i
0	1	0.5
0.25	1.2790	1.8613
0.50	2.0121	4.2081
0.75	3.5140	8.1396
1.00	6.2958	14.6592
1.25	11.1950	25.4311
1.50	19.5900	43.2049
1.75	33.7511	72.5173
2.00	57.4206	120.8503

Численные методы. Большинство численных методов решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка, сводятся к процедуре вычисления у_i+1 = y (x _i + h) при известных значениях у_i = y (x _i ) и некоторых других параметров задачи.

Будем считать, что уравнение (5.1) разрешено относительно у’ и мы имеем задачу Коши вида

. (5.2)

Зная начальную точку (х₀ , у₀ ), можно с помощью основной процедуры численного метода определить следующую точку (х₁ , у₁ ) решения. А дальше вычисления повторяются – положив (х₁ , у₁ ) новой начальной точкой мы можем тем же способом найти (х₂ , у₂ ) и так продолжить до конца отрезка задания решения.

Основой для получения расчетных формул того или иного численного метода является эквивалентное представление уравнения (5.2) при начальной точке (х_i , у_i ) в интегральном виде:

, (5.3)

который получается интегрированием обеих частей уравнения (5.2). Для построения метода надо подобрать подходящую аппроксимацию интеграла в (5.3) с помощью какой-либо формулы численного интегрирования. Так как большинство квадратурных формул интерполяционного типа сводятся к вычислению значений у(х) в специально подобранныx узлах, то при аппроксимации интеграла вместо (5.3) будем иметь приближенное равенство

у_i+1 – у_i  Ф(х_i , h, у_i+1–k ,… у_i, у_i+1), (5.4)

где Ф – аппроксимация интеграла в (5.3). Теперь задача сводится к тому, чтобы выразить из алгебраического уравнения (5.4) искомую величину у_i+1. Тип численного метода в основном определяется способом построения функции Ф и процедурой нахождения у_i+1 из (5.4).

При аппроксимации интеграла (5.3) в общем случае используются найденные ранее k значений искомой функции: у_i+1–k,…, у_i. Поэтому такие методы называются k-шаговыми. При k = 1 уравнение (5.4) упрощается и приобретает вид

у_i+1 – у_i  Ф(х_i , h, у_i, у_i+1).

Соответствующие методы называются одношаговыми. Вычисление у_i+1 в них осуществляется с использованием только одного предыдущего значения – у_i, которое либо было задано по условию при i = 0, либо определилось на предыдущих итерациях. Иными словами, никаких вспомогательных процедур для реализации одношаговых методов не нужно. Поэтому их еще называют самостартующими.

При k > 1 получаем многошаговые методы, более подробно поговорим о них ниже.

В случае, когда функция Ф не зависит от у_i+1, ее вычисление не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

у_i+1 = у_i + Ф(х_i , h, у_i+1–k ,… у_i).

Соответствующие методы называются явными. В противоположность им, методы, в которых функция Ф зависит от у_i+1, называются неявными. При их реализации при каждом i возникает необходимость решения относительно у_i+1 некоторого нелинейного уравнения.

Пример 5.3. Требуется решить задачу Коши

.

Здесь f(x, y) = y² + 1. Получим формулы некоторых простейших численных методов, используя простые (не составные) формулы численного интегрирования для аппроксимации интеграла (5.3).

1) Воспользуемся формулой левых прямоугольников, известной из курса математического анализа:

= Ф(х_i , h, у_i).

Функция Ф не зависит от у_i+1 и в ней k = 1. Следовательно, получаем явный одношаговый метод

у_i+1 = у_i + h f(х_i , у_i), (5.5)

называемый явным методом Эйлера. Для примера 5.3 соответствующие расчетные формулы имеют вид у_i+1 = у_i + h [(у_i)² + 1].

2) Воспользуемся формулой трапеций (4.5), согласно которой интеграл (5.3) имеет следующий вид:

.

При такой аппроксимации интеграла правая часть равенства (5.4) зависит от у_i+1 и поэтому имеем неявный одношаговый метод вида

у_i+1 – у_i = (h / 2) [ f (x_i , у_i ) + f (x_i+1 , у_i+1 ) ], (5.6)

называемый неявным методом Эйлера. Согласно этому методу, в примере 5.3 для искомого значения у_i+1 будем иметь квадратное уравнение, решив которое получим расчетную формулу:

.

В общем случае уравнение (5.6) может не иметь аналитического решения. Тогда для организации расчетов по методу (5.6) можно воспользоваться каким-нибудь численным алгоритмом решения уравнений для определения значения у_i+1 при каждом i.

3) Другой способ реализации метода (5.6) без непосредственного решения уравнения относительно у_i+1 состоит в соединении явного и неявного методов. Вместо точного значения у_i+1 в правую часть равенства (5.6) подставляется его приближенное значение, найденное по формуле явного метода (5.5), а затем применяется формула (5.6). В результате получаем следующие расчетные формулы:

= у_i + h f(х_i , у_i); у_i+1 = у_i + (h / 2)[ f(x_i , у_i ) + f(x_i+1 , ) ]. (5.7)

Такая идея соединения явного и неявного методов носит название схемы прогноза и коррекции. На первом шаге по явной формуле получается величина , называемая прогнозом, которая затем корректируется с использованием формулы неявного метода. Полученное значение у_i+1 считается окончательным искомым значением функции у(х) в i + 1-й точке. Метод (5.7) является одним из простейших вариантов такой схемы и называется модифицированным методом Эйлера или методом Эйлера-Коши.

Подставив левую формулу (5.7) в правую, получим единую расчетную формулу, которая для примера 5.3 будет иметь вид

.

Далее приведены результаты расчетов перечисленных методов для примера 5.3 на отрезке [0, 1.2] c шагом h = 0.2. Для сравнения указаны точки точного решения у(х) = tg(x).