3. Метод дробления шага. Правило Рунге

Формулы (4.7) и (4.9) для практики неудобны, т.к. значения f ^(m) () обычно неизвестны. Правило Рунге позволяет найти достаточно точные оценки погрешности, используя значения I*, вычисленные при различных h.

Пусть m – порядок точности применяемого метода численного интегрирования. Напомним, что для формулы трапеций m = 2, а для формулы Симпсона m = 4. Пусть далее, I^h и I^h/2 – значения интеграла, найденные при величине шага h и h/2, соответственно. Имеет место формула практической оценки погрешности согласно правилу Рунге:

. (4.10)

Если значение правой части приближенного равенства окажется меньше предельно допустимой погрешности , то можно считать I^h/2 ответом задачи. В противном случае – требуемая точность не достигнута и необходимо использовать более мелкий шаг, т.е. продолжить процесс дробления шага.

Пример 4.2. Вычислить с точностью  = 10^–5 значение интеграла

,

используя правило Рунге.

1) Формула трапеций. Для определения начального шага воспользуемся формулой (4.7). При заданной максимальной абсолютной погрешности  значение h можно найти по формуле

.

Величину у”() можно оценить по известной формуле , построив таблицу разделенных разностей, либо положить его равным какому-нибудь близкому по порядку числу, например 1. В любом случае мы угадаем лишь порядок оптимального значения h.

Итак, полагая у”() = 1, получим h = 8.16510^–3 . Отсюда число разбиений n = 220. По формуле (4.6) получим I ^h = 2.5651958. Уменьшаем шаг вдвое – I ^h/2 = 2.5650110. Отсюда

= – 6.2  10 ^–5.

Значит, при таком разбиении требуемая точность не достигается, надо продолжить процесс дробления шага. Полностью процесс вычислений приведен в таблице 4.1. Окончательный результат I  2.5649532 получен при n = 1760. Сравнивая с истинным значением I = 2.56494936, убеждаемся, что применение правила Рунге позволило получить результат с требуемой точностью.

Таблица 4.1
Правило Рунге для формулы трапеций
n	I*	I – Ih/2
220	2.5651958
440	2.5650110	–6.2  10 –5
880	2.5649548	–1.6  10 –5
1760	2.5649532	–3.9  10 – 6

2) Формула Симпсона. Начальное значение h равно

Значит, отрезок [–0.8, 1] надо разбить на 10 частей. По формуле (4.8) получим I ^h = 2.586503286. Уменьшаем шаг вдвое – I ^h/2 = 2.56755997441. Отсюда

= –1.26  10 ^–3.

Значит, при таком разбиении требуемая точность не достигается, надо продолжить процесс дробления шага. Полностью процесс вычислений приведен в таблице 4.2. Окончательный результат I  2.5649504 получен при n = 160. Сравнивая с истинным значением I = 2.56494936, убеждаемся, что применение правила Рунге позволило получить результат с требуемой точностью.

Таблица 4.2
Правило Рунге для формулы Симпсона
n	I*	I – Ih/2
10	2.5865033
20	2.5675600	–1.26  10 –3
40	2.5651762	–1.6  10 –4
80	2.5649654	–1.4  10 –5
160	2.5649504	–1.0  10 –6

Замечание 1. В обоих случаях понадобилось повторить процесс дробления несколько раз. Такая медленная сходимость объясняется наличием особенности подынтегральной функции вблизи отрезка интегрирования в точке х = – 0.95, в связи с чем, значения у^(m) () растут вместе с уменьшением h. При интегрировании более гладких функций сходимость обычно бывает значительно лучше.

Замечание 2. При приближенном вычислении интегралов, абсолютная величина | I | которых мала, использование значения абсолютной погрешности  для контроля точности необоснованно, более приемлема относительная погрешность . Поэтому при использовании правила Рунге рекомендуется следующий критерий останова процесса дробления шага: если | I^h/2 |  1, то заканчивать при ,

если | I^h/2 | < 1, то заканчивать при .