24

Тема 4. Численное дифференцирование и интегрирование

1. Основные формулы численного дифференцирования

1.1. Трехточечная формула для у’(x) при произвольном х

, (4.1)

где .

1.2. Трехточечные формулы для у’(x) в узлах интерполяции

;

; (4.2)

.

1.3. Трехточечная формула для у’’(x)

,

где .

1.4. Частные производные

; ;

;

;

=

= .

Для всех приведенных формул частных производных погрешность составляет О(h²) (O(ph) для смешанной производной; р – шаг по переменной у).

Контрольные вопросы и задания

1. На графике в системе координат хОу изобразите точки, в которых вычисляются значения функции f(x,y) для расчета всех указанных частных производных.

2. Постройте интерполяционный многочлен 3-й степени по 4-м точкам и выведете 4-х точечные формулы для первой производной в узлах интерполяции, аналогичные (4.2).

3. Для следующих вариантов функции у(z) вычислите первую производную по 3-м узлам в указанной точке х. Подберите оптимальную величину h, исходя из заданного значения Е и оценки .

1.

у(z) = I₈ , где Е = 10^–11 , х = 0.5.

2.

у(z) = u₈ , где Е = 10^–8 , х = 59.

3. y(z) вычисляется по следующему алгоритму:

function y(z): real;

begin a := z/5; b := z/2; fa := a*a – z; fb := b*b – z;

for j := 0 to 20 do

begin t := a – fa*(b –a) / (fb – fa);

fx := t*t – z;

если fa*fx < 0 тогда { b := t; fb := fx }

если fa*fx >= 0 тогда { a := t; fa := fx }

end;

y := t;

end;

Е = 10^–8 , х = 15.

4.

у(z) = I₉, где Е = 10^–11 , х = 0.3.

5.

у(z) = I₇, где Е = 10^–11, х = 0.3.

6. Y(z) вычисляется по следующему алгоритму:

function y(z): real;

begin a:= z/5; b:= z/2; fa := sin² (a) – z; fb := sin² (b) – z;

for j := 0 to 20 do

begin t := a – fa*(b –a) / (fb – fa);

fx := sin² (t) – z;

если fa*fx < 0 тогда { b := t; fb := fx }

если fa*fx >= 0 тогда { a := t; fa := fx }

end;

y := t;

end;

Е = 10^–10, х = 0.5.

7.

у(z) = u₄₅, где Е = 10^–10 , х = 1.

8. Y(z) вычисляется по следующему алгоритму:

function y(z): real;

begin a:= –0.8; b:= –0.2; fa := a² – 2*a – z; fb := b² – 2*b – z;

for j := 0 to 20 do

begin t := a – fa*(b –a) / (fb – fa);

fx := t² – 2*t – z;

если fa*fx < 0 тогда { b := t; fb := fx }

если fa*fx >= 0 тогда { a := t; fa := fx }

end;

y := t;

end;

Е = 10^–10, х = 1.

9.

у(z) = u₅ , где Е = 10^–11 , х = 1.

10.

у(z) = u₃ , где Е = 10^–11 , х = 3.5.

2. Простые формулы численного интегрирования

2.1. Постановка задачи численного интегрирования. В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определенного интеграла

,

который может выражать площадь, объем, работу переменной силы и т.д. Если функция f(x) непрерывна на [a, b] и ее первообразную F(x) удается выразить через известные функции, то для вычисления интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

I = F(b) – F(a). (4.3)

К сожалению, в подавляющем большинстве случаев получить значение интеграла с помощью формулы (4.1) или других аналитических методов не удается. Так, интеграл широко используется при исследовании процессов массо- и теплообмена, в статистической физике и теории вероятностей. Однако его значение не может быть выражено в виде конечной комбинации элементарных функций.

При разработке численных методов нахождения значения определенных интегралов наиболее распространенным подходом является аппроксимация. Подынтегральную функцию f(x) на отрезке [a, b] приближают некоторой функцией Y(x), которая легко интегрируется аналитически. Затем полагают

.

Если функция f(x) задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности такой замены.

2.2. Формула трапеции. Пусть функция f(x) интерполируется на [a, b] многочленом 1-й степени: Y(x) = P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) ₁[x₀, x₁], где x₀ = a, x₁= b. Обозначим h = x₁– x₀. После интегрирования и преобразования получим следующую формулу:

 [f(a) + f(b)] = [f(x₀) + f(x₁)] = I*, (4.4)

называемой формулой трапеций. Геометрически она означает замену площади криволинейной трапеции обычной трапецией (рис. 4.1), отсюда название формулы.

Воспользовавшись известной оценкой погрешности интерполирования многочленом P₁(x) несложно получить оценку погрешности формулы (4.2):

R_ТРАП = I – I* = , [ x₀ , x₁]. (4.5)

Знак “–” означает, что при f ’’ > 0 формула (4.2) дает значение интеграла с избытком, а при f ’’ < 0 – с недостатком. На рис. 4.1 функция f(x) вогнута, т.е. f ’’ < 0, следовательно. I* < I. При f ’’ = 0, т.е. если f(x) = P₁(x), формула (4.2) не содержит погрешности и абсолютно точна.

Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация формулы трапеции

2.3.Формула Симпсона. Пусть функция f(x) интерполируется на [a, b] многочленом 2-й степени:

Y(x) = P₁ (x) = y₀ + (х – x₀) ( ₁[x₀, x₁] + (х – x₁) ₂[x₀, x₁, x₂] ),

где x₀ = a, x₁ = (a + b) / 2, x₂ = b, h = x_i+1 – x_i. После интегрирования и преобразования получим следующую формулу:

 [ f (x₀) + 4 f (x₁) + f (x₂) ] = I*, (4.6)

называемой формулой Симпсона. Ее геометрический смысл представлен на рис. 4.2.

Оценка погрешности формулы (4.4) имеет вид:

R_СИМП = I – I* = , [ x₀ , x₂]. (4.7)

Знак “–” означает, что при f ⁽⁴⁾ > 0 формула (4.6) дает значение интеграла с избытком, а при f ⁽⁴⁾ < 0 – с недостатком. На рис. 4.3 функция f(x) представляет собой многочлен 4-й степени с постоянным значением f ⁽⁴⁾ < 0. Из рисунка видно, что площадь фигуры под графиком f(x) (окрашенная область) больше, чем под Y(x). Следовательно, I* < I. При f ⁽⁴⁾ = 0, т.е. если f(x) = P₃(x), формула (4.6) не содержит погрешности и абсолютно точна. Это видно на рис. 4.2 – площади под f(x) и под Y(x) абсолютно одинаков, хотя сами функции не совпадают.

Рис. 4.2. Геометрическая интерпретация формулы Симпсона

Рис. 4.3. При f ⁽⁴⁾ < 0 формула Симпсона дет результат с недостатком