2. Приложение интерполяции к вычислительным задачам

2.1. Численное решение уравнений. Пусть на отрезке [a, b] надо найти корень уравнения f(x) = 0. Если функция f(x) монотонна на [a, b], то одним из эффективных методов решения является обратная интерполяция. Предлагается следующий алгоритм.

1. Выбираем некоторый шаг h и просчитываем значения у = f(х) с этим шагом на [a, b].

2. Задаемся некоторым значением n и выбираем на [a, b] (n + 1) точку. Для повышения точности рекомендуется выбирать точки так, чтобы примерно половина из них была с одной стороны от корня (в них f(x_i) < 0), а другая половина была с другой стороны от корня (в них f(x_i) > 0). Тогда корень будет близок к середине отрезка интерполяции, т.е. там, где точность максимальна.

3. Строим Q_n (y) и вычисляем х* = Q_n (0). Это и будет приближенным корнем уравнения.

4. Для повышения точности можно применить итерационный вариант метода. Для этого задаемся некоторым  > 0 и проверяем, достигнута ли заданная точность. В качестве критерия можно использовать неравенства | x_n – x₀ | <  или | f(x*) | < . Первое условие (оценка по аргументу) означает, что интервал интерполяции, на котором находится корень, достаточно мал. Второе (оценка по функции) – что в найденной точке функция приблизительно равна 0. Если выбранный критерий точности удовлетворен, то стоп.

5. Если точность не достигнута, то к имеющимся узлам интерполяции добавляем новый – (х*, f(x*)). Можно применять одну из двух стратегий модификации набора узлов:

а) стратегия добавления – не менять старые узлы; при этом общее число узлов и степень многочлена возрастает на 1.

б) стратегия замены – исключить один из старых узлов, общее число узлов и степень многочлена не изменяется; при этом можно

- б¹) заменить тот узел, в котором значение |у_i| максимально (т.е. наиболее отлично от 0);.

- б²) заменить тот узел, в котором знак функции совпадает со знаком функции в новом узле (чтобы оставшиеся узлы снова имели чередующиеся знаки).

6. Вернуться к пункту 3.

В качестве аппроксимирующей функции можно использовать многочлены от 0 до 3-й степени.

В качестве многочлена 0-й степени используют функцию

Y(x) = = sign(f(x)).

В этом случае мы получим метод, известный как метод половинного деления. При n = 1 получим метод секущих. В обоих случаях рекомендуется использовать стратегию б²). При n > 1 можно применять любую стратегию модификации узлов.

Пример 3.2. Найти корень уравнения f(x)  cos(x) – x = 0 на интервале [–1, 2.5] с точностью по функции 10^–5.

Положим h = 0.5 и составим таблицу значений у(х) (таблица 3.2):

Таблица 3.2.
x	– 1.0	– 0.5	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
y	1.54	1.38	1.0	0.38	– 0.46	– 1.43	– 2.42	– 3.30

1. В качестве узлов интерполяции будем использовать точки при х = 0; 0.5; 1.0; 1.5, т.е. положим n = 3. Строим матрицу D1 для обратных разделенных разностей:

D1 =	yi	xi	1	2	3
	1	0.0	0	0	0
	0.3775826	0.5	– 0.8033194	0	0
	– 0.4596977	1.0	– 0.6850734	– 0.1412264	0
	–1.4292628	1.5	– 0.6174713	– 0.1028578	– 0.039573

Получаем многочлен

Q₃ (y) = 0 – 0.8033194 (у – 1) – 0.1412264 (у – 1) (у – 0.3775826) –

– 0.039573 (у – 1) (у – 0.3775826) (у + 0.4596977).

Рис. 3.1. Графики функции f ^–1(y) (красный) и Q(y) (зелёный)

Отсюда Q₃ (0) = х* = 0.74312596; f(x*) = – 0.006769 – точность не достигнута, т.к. | f(x*) | > . Заменяем новой точкой (0.74312596; – 0.006769) старый узел (1.5; –1.429263), в котором значение функции наиболее отличается от 0. Получаем новую матрицу D2

D2 =	yi	xi	1	2	3
	1	0.0	0	0	0
	0.3775826	0.5	– 0.8033194	0	0
	– 0.4596977	1.0	– 0.6850734	– 0.1412264	0
	– 0.006769	0.743126	– 0.7381297	– 0.1696096	– 0.0626661

и новый многочлен

Q₃ (y) = 0 – 0.8033194 (у – 1) – 0.1412264 (у – 1) (у – 0.3775826) –

– 0.0626661 (у – 1) (у – 0.3775826) (у + 0.4596977)

D3 =	yi	xi	1	2	3
	– 0.000054	0.7391176	0	0	0
	0.3775826	0.5	– 0.6331945	0	0
	– 0.4596977	1.0	– 0.5675757	– 0.0783713	0
	– 0.006769	0.743126	– 0.5969738	– 0.0942385	– 0.0350323

Q₃ (0) = х* = 0.7391176; f(x*) = – 0.000054 – точность не достигнута. Заменяем на новую точку (0.7391176; – 0.000054) старый узел (0; 1). Получаем новую матрицу D3

Q₃ (y) = 0.7391176 – 0.6331945 (у – 0.000054) – 0.0783713 (у – 0.000054) (у – 0.3775826) –

– 0.0350323 (у – 0.000054) (у – 0.377583) (у + 0.4596977)

Q₃ (0) = х* = 0.73908513; f(x*) = 1.488  10 ^{– 9} – точность достигнута.

2. Положим n = 1, выбрав точки х = 0.5; 1.0.

Имеем X(y) = x₀ + (y – y₀) ₁[x₀, x₁]. Отсюда X = x₀ – y₀ ₁[x₀, x₁].

= – 0.5971716. Следовательно, X = 0.5 + 0.3775826 0.5971716 = 0.7254816.

f(X) = 0.0226984 > 0, следовательно, отбрасываем узел (0.5; 0,38).

2-я итерация. ₁ = – 0.5690726, X = 0.7254816 + 0.02269840.5690726 = 0.7383986. f(X) = 1.148782310^{– 3} > 0, следовательно, отбрасываем узел (0.7254816; 0.0226984). И т.д.

После 4-й итерации получаем Х = 0.7390834, f(X) = 2.88417210^{– 6} – точность достигнута.

3. Положим n = 0, выбрав точки х = 0.5; 1.0. Полагаем всякий раз Х = .

1-я итерация. Имеем: X = 0.75, f(x) = – 0.0183 < 0, отбрасываем узел (1, – 0.46).

2-я итерация. X = 0.625, f(x) = 0.186 > 0, отбрасываем узел (0.5, 0.38).

3-я итерация. X = 0.6875, f(x) = 0.085335 > 0, отбрасываем узел (0.625, 0.186). И т.д.

После 10-й итерации получаем Х = 0.7390812, f(X) = 6.58310^{– 6} – точность достигнута.

Резюме. Как видим, скорость сходимости, и сложность вычислений в описанных методах значительно отличаются.

Сходимость существенно зависит от близости исходной функции к аппроксимирующей. В том случае, когда вид исходной функции неизвестен, лучше использовать метод половинного деления, т.к. он за k итераций гарантированно сужает исходный отрезок в 2^k раз, и можно заранее рассчитать достигаемую точность по аргументу. Метод секущих хорошо работает, когда функция близка к прямой. Если известно, что функция f(x) гладкая (не имеет разрывов и резких скачков), но отличается от прямой, лучше использовать обратную интерполяцию при n = 2 или 3.

2.2. Поиск минимума функции одной переменной. Пусть даны три точки на плоскости: A = (x₀, y₀); B = (x₁, y₁); С = (x₂, y₂); x₀ < x₁ < x₂.

Def. Три точки на плоскости (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂) образуют выпуклую тройку, если при x₀ < x₁ < x₂ выполнены также неравенства у₁ < у₀, у₁ < у₂.

Ставится задача: найти приближенно точку минимума функции у(х) по трем точкам, образующим выпуклую тройку. Эта задача решается с помощью параболической интерполяции. Согласно этому методу строят многочлен Ньютона 2-й степени Р₂ (х) (параболу) и находят точку его минимума, т.е. точку, в которой .

Имеем: P₂ (x) = y₀ + (х – x₀) ₁[x₀, x₁] + (х – x₀) (х – x₁) ₂[x₀, x₁, x₂]. Найдем производную, приравняем ее к нулю и решим полученное линейное уравнение. Получим:

. (3.1)

Свойство. Если узлы интерполяции образуют выпуклую тройку, то х^min [x₀, x₂], т.е. точка минимума, получаемая методом параболической интерполяции, устойчива.

Если минимизируемая функция у(х) задана аналитически, то решение можно получить с любой заданной точностью. Для этого используют итерационный вариант метода параболической интерполяции. Cтроят новую точку F = (х^min , у(х^min )) и проверяют, достигнута ли требуемая точность. Если да, то х^min – решение задачи, СТОП. В противном случае заменяют точкой F один из старых узлов, например тот, в котором значение у_i максимально, и повторяют интерполяцию.

Рис. 3.2. График функции f(x) = 0.5 x² – sin(x)

В качестве критерия точности по функции можно использовать условие max { у_i } – min { у_i } < , т.е. значения функции в узлах совпадают с заданной точностью. В качестве критерия точности по аргументу можно использовать условие max { х_i } – min { х_i } < , т.е. значения аргумента лежат в достаточно малом интервале.

Перед применением метода выбирают некоторый шаг h и просчитывают значения у(х) с этим шагом на [a, b] для обнаружения выпуклой тройки.

Замечание 1. Так как на последних итерациях значения функции очень близки, то вычисления надо проводить с большим числом значащих цифр.

Замечание 2. Если требуется найти максимум функции, то для того, чтобы не менять все выкладки и формулу (3.1), удобнее поменять знак функции и искать min (– y(x)).

Пример 3.3. Найти минимум функции f(x) = 0.5 x² – sin(x) на отрезке [–1, 2.5] с точностью по аргументу 10^–3.

Положим h = 0.5 и составим таблицу значений у = f(х) (таблица 3.3). График функции – на рис. 3.2.

Таблица 3.3.
x	– 1.0	– 0.5	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
y	1.34	0.60	0.0	–0.35	– 0.34	0.13	1.09	2.53

В качестве узлов интерполяции будем использовать точки при х = 0; 0.5; 1.0, т.к. они образуют выпуклую тройку. Строим матрицу D для разделенных разностей:

D =	xi	yi	1	2
	0.0	0	0	0
	0.5	– 0.3544255	– 0.708851	0
	1.0	– 0.341471	– 0.341471	0.73476

Отсюда по формуле (3.1) F = (х^min , у(х^min )) = (0.732369; –0.4004509).

Рис. 3.3. Применение параболической интерполяции, 1-я итерация

минимизируемая функция f(x)   узлы интерполяции

парабола  точка (х^min , f(х^min ))

После 1-й итерации точность не достигнута, следовательно, заменяем точкой F узел при х = 0, т.к. у(0) = 0 = max. Получаем новую матрицу D:

D =	xi	yi	1	2
	0.732369	– 0.4004509	0	0
	0.5	– 0.3544255	– 0.1980703	0
	1.0	– 0.341471	0.2203777	0.836896

F= (х^min , у(х^min )) = (0.7345207095; -0.4004712). Точность не достигнута, следовательно, заменяем точкой F узел при х = 1, т.к. у(1) = -0.341470985 = max, и т.д.

После пятой итерации получаем следующую таблицу узлов:

Таблица 3.4.
х	0.7390872156	0.7393051349	0.7390850585
у	-0.400488612	-0.400488572	-0.400488612

(х^min , у(х^min )) = (0.7390851332; -0.400488572); max { х_i } – min { х_i } = 2.20110^{– 4} – точность достигнута.