3.3. Алгоритм построения решения задачи Дарбу
Из доказанных свойств 1,2,3 вытекает следующий алгоритм построения решения задачи Дарбу.
Для построения матрицы ориентации твердого тела достаточно получить два взаимно ортогональных решения и уравнения (4.5.10):
, (4.5.10)
или уравнения (4.5.5):
, (4.5.5)
удовлетворяющих условиям
.
Действительно,
построим
решение
уравнения (4.5.5) с начальными условиями,
совпадающими в момент времени
с направляющими косинусами вектора
абсолютной системы координат относительно
связанных осей.
Очевидно, такое решение будет определять положение вектора в связанной системе в любой момент времени .
Другими словами, компоненты решения будут являться элементами первой строки матрицы в любой момент времени .
Затем возьмем в качестве начальных условий в момент направляющие косинусы вектора абсолютной системы координат в связанной системе.
По ним построим решение уравнения (4.5.5).
Компоненты этого решения будут давать положение вектора в связанной системе в любой момент времени и совпадать с элементами второй строки матрицы .
В силу свойства 2 решений уравнения (4.5.5) вектор , определяемый по векторам и согласно формуле
, (4.5.13)
является ее решением.
Иначе
говоря, компоненты
вектора
при любых
будут совпадать с элементами третьей
строки матрицы ориентации 
.
В (4.5.13) векторы и строятся через решения и уравнения (4.5.5) по формуле (4.5.9).
В итоге, после проведения описанных действий, получаем решение матричного уравнения Пуассона (4.5.7)
(4.5.7)
в
виде матрицы 
:
.
Здесь и — решения уравнения (4.5.5) с указанными выше начальными условиями.
Если
компоненты столбца
обозначим
, 
,
а столбца
—
,
,
то элементы третьего столбца матрицы
(их обозначим
,
)
связаны с ними следующими соотношениями:
,
,
.
Если начальные условия в задаче Дарбу задаются через значения углов ориентации, то для построения решения по описанному алгоритму необходимо:
предварительно вычислить матрицу ориентации в заданный момент времени по формулам связи элементов этой матрицы с углами ориентации, подставив в них заданные начальные значения углов;
использовать вычисленные элементы первой и второй строки матрицы ориентации в качестве начальных условий для построения решений и .