3.3. Формулы Эйлера для переносной и относительной угловой скорости

Очевидно, для векторов и в любой момент времени справедливы формулы Эйлера

, (4.3.11)

. (4.3.12)

Соотношения (4.3.11) следуют из определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат относительно абсолютного пространства  (см. определение 4 в §2).

Формулы (4.3.12) вытекают из определения относительной производной от векторов , заданных своими проекциями на оси подвижной системы , и из определения 3 вектора мгновенной угловой скорости относительно системы (условно принятой неподвижной).

4º. Скорости точек твердого тела в сложном движении. Теорема о сложении угловых скоростей

4.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении

Пусть — произвольная точка твердого тела. Она участвует в сложном движении. Одно движение (переносное) — это движение подвижной системы . Другое движение — относительное (это движение точки в подвижной системе ).

Поэтому можем применить теорему о сложении скоростей:

, (4.3.13)

где — абсолютная скорость, — переносная скорость, — относительная скорость точки  .

По определению переносной скорости можем записать

.

Поскольку — переносная скорость точки , то переносная скорость точки представляется в виде

. (4.3.14)

По определению относительной скорости точки  согласно формуле Эйлера для скоростей точек твердого тела имеем

, (4.3.15)

где

• — относительная скорость полюса связанной системы (скорость точки  относительно системы ),

• — вращательная скорость точки  относительно подвижной системы .

Подставляя (4.3.14) и (4.3.15) в (4.3.13), придем к следующему выражению для скорости :

.

Поскольку — абсолютная скорость точки , то окончательно получим

. (4.3.16)

Таким образом, доказали теорему.

Теорема

Абсолютная скорость любой точки  твердого тела равна сумме абсолютной скорости полюса  связанной с телом системы координат и векторного произведения суммы мгновенных угловых скоростей составляющих движений на радиус-вектор точки  относительно полюса  .

4.2. Теорема о сложении угловых скоростей

Пусть — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства .

Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1

Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства в сложном движении равен векторной сумме мгновенных угловых скоростей  ,  , составляющих движений:

. (4.3.17)

Утверждение следствия 1 легко распространяется на случай  составляющих движений.

Следствие 2

Если твердое тело участвует в составляющих движениях, то формула (4.3.17) имеет вид:

. (4.3.18)

Действительно, если равенство (4.3.17) будет доказано, то по индукции легко устанавливается справедливость формулы (4.3.18). Поэтому докажем равенство (4.3.17) (случай ).

По формуле Эйлера абсолютная скорость любой точки твердого тела определяется через вектор следующим соотношением:

. (4.3.19)

С другой стороны, рассматривая движение твердого тела как сложное, имеющее два составляющих движения, согласно формуле (4.3.16) имеем

.

Сопоставляя с (4.3.19), в силу произвольности получаем

,

что и требовалось доказать.