2.2. Матричная форма кинематических уравнений Пуассона

В уравнениях (4.5.3) матрица коэффициентов, взятых с обратным знаком, имеет вид

. (4.5.4)

Она является кососимметрической матрицей.

Если обозначить через вектор-столбец

,

то система (4.5.3) в матричном виде запишется так:

, (4.5.5)

где матрица задается формулой (4.5.4).

В задаче Дарбу матрица является известной матричной функцией времени.

Уравнение (4.5.5) — это система уравнений Пуассона (4.5.3), записанная в матричной форме.

3º. Решение задачи Дарбу

3.1. Дифференциальное уравнение Пуассона для матрицы ориентации

Установим связь решений уравнения (4.5.5) с матрицей ориентации твердого тела.

В качестве вектора при выводе уравнений Пуассона последовательно возьмем орты абсолютной системы координат.

Поскольку координаты:

• орта совпадают с элементами первой строки матрицы ,

• орта — с элементами второй строки,

• орта — с элементами третьей строки,

то в уравнении (4.5.5) можно последовательно положить

,

где — вектор-строка с номером , , в матрице ориентации :

, , .

Тогда уравнение (4.5.5)

(4.5.5)

для векторов , , запишется в виде

. (4.5.6)

Объединяя эти три уравнения, приходим к следующему матричному дифференциальному уравнению для транспонированной матрицы :

. (4.5.7)

Уравнение (4.5.7) — это дифференциальное уравнение Пуассона для матрицы ориентации.

Покажем, как построить матрицу  через решения уравнения Пуассона (4.5.5).

Сначала отметим свойства решений системы уравнений Пуассона (4.5.3).

3.2. Свойства решений уравнений Пуассона

Обратимся снова к системе уравнений Пуассона (4.5.3).

(4.5.3)

Записанная в матричной форме, она имеет вид (4.5.5)

. (4.5.5)

В (4.5.5) матрица коэффициентов, взятых со знаком «минус», задается формулой (4.5.4):

, (4.5.4)

а — вектор-столбец,

.

Отметим следующие свойства решений уравнения (4.5.5).

1. Уравнение (4.5.5) имеет первый интеграл .

Утверждение легко проверяется непосредственным дифференцированием функции , вычисленной на решениях уравнения (4.5.5).

Данный интеграл выражает собой условие того, что длина вектора не меняется на решениях уравнения (4.5.5).

Нас будут интересовать только такие решения, на которых , т.е. .

2. Если и — два частных решения уравнения (4.5.5), то вектор

(4.5.8)

также является его решением.

Здесь под , , понимаем вектор

, (4.5.9)

координаты которого в связанной системе совпадают с элементами соответствующего вектора-столбца

.

Действительно, каждое из трех уравнений в системе (4.5.6)

(4.5.6)

после замены в них элементов векторов

, ,

на координаты векторов и после подстановки в (4.5.6) матрицы

, (4.5.4)

в обозначениях (4.5.9) примет вид

. (4.5.10)

В (4.5.9) верхний индекс обозначает фиксированную вектор-функцию , построенную по вектору-столбцу , который является решением уравнения (4.5.5)

. (4.5.5)

Уравнения (4.5.5) и (4.5.10) эквивалентны друг другу. Если записать их в координатной форме, то с точностью до обозначений они будут совпадать. Их решения связаны формулой (4.5.9).

Тогда, если , — решения уравнения (4.5.10), то можно записать

. (4.5.11)

Покажем, что

(4.5.12)

также является решением уравнения (4.5.10)

. (4.5.10)

Дифференцируя (4.5.12), получим

.

Заменим ,  , правыми частями равенств (4.5.11)

.

Раскрываем правую часть по формуле двойного векторного произведения:

Сравнивая с (4.5.10), куда следует подставить

,

видим, что — решение уравнения (4.5.10).

3. Если и — два частных решения уравнения (4.5.5), то при любых справедливо равенство

.

Здесь и — векторы, построенные через решения   и  по формуле (4.5.9)

. (4.5.9)

В справедливости свойства легко убедиться, если продифференцировать скалярное произведение и учесть соотношения (4.5.11):

. (4.5.11)