1.2. Предварительный анализ постановки задачи

При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений (4.5.1).

Однако эти уравнения имеют следующие особенности, которые необходимо учитывать в процессе построения решения поставленной задачи.

Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.

Во-вторых, правые части уравнений имеют особенности:

а именно, они не определены при некоторых значениях углов ориентации.

Тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений.

Следовательно, если

твердое тело совершает одно из движений, на которых углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то

такое движение не будет решением данных уравнений.

В связи с этим, в разрабатываемом алгоритме должны быть предусмотрены:

действия по распознаванию таких движений;

переход к интегрированию кинематических уравнений, записанных для других угловых параметров.

Иначе говоря, после того, как будет установлено, что на искомом решении хотя бы один из углов ориентации близок к критическому значению, необходимо перейти к описанию движений другими углами. А именно, такими углами, критические значения которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации.

Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу Дарбу с использованием этих

уравнений - построенных для новых углов ориентации.

Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.). Это действительно так, поскольку критические значения переменных существуют в кинематических уравнениях, построенных для любых углов ориентации.

Ниже (в п.3º) показано, как избежать указанных трудностей при разработке алгоритма построения решения задачи Дарбу.

2º. Кинематические уравнения Пуассона

Откажемся от определения ориентации твердого тела через угловые параметры и будем вычислять его ориентацию по матрице перехода от связанной системы координат к абсолютной.

С этой целью выведем дифференциальные уравнения, по решениям которых могут быть построены элементы указанной матрицы.

2.1. Вывод кинематических уравнений Пуассона

Пусть — орт, неподвижный в абсолютном пространстве. Обозначим — его проекции на подвижные оси, в качестве которых берем оси связанной с твердым телом системы координат.