2º. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера

Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1º, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угловой скорости с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.

2.1. Общая схема построения уравнений Эйлера

1. В соответствии с заданной последовательностью поворотов вокруг координатных осей при вводе углов ориентации:

– определяется последовательность угловых скоростей - ой системы координат относительно - ой системы;

– вектор вычисляется по формуле

,

где

— орт той оси, номер которой указывается в схеме на этапе ввода угла . Эта ось является общей для систем с номером и . Вокруг нее осуществляется поворот на угол при построении - ой системы координат.

Таким образом, в кинематической схеме вместе с углами ориентации указываются вектора

,

где — орт той оси, номер которой задан в схеме.

2. Применяется теорема о сложении угловых скоростей:

записывается равенство

.

3. Это равенство рассматривается как векторное кинематическое уравнение, связывающее проекции вектора  на оси выбранной системы отсчета с введенными углами ориентации и их производными.

Уравнение можно проектировать на связанные оси (или любые другие) и получать явную зависимость проекций вектора на выбранные оси от углов ориентации и их производных.

2.2. Кинематические уравнения Эйлера для самолетных углов

Покажем реализацию данного алгоритма построения кинематических уравнений на примере самолетных углов.

Схема ввода самолетных углов такова:

Она дополнена указанием угловых скоростей элементарных вращений.

В ней

.

По теореме сложения угловых скоростей записываем векторное кинематическое уравнение

. (4.4.3)

Проектируем векторное уравнение (4.4.3) на связанные оси.

Умножим его последовательно скалярно на орты и учтем следующие соотношения, полученные при построении матрицы ориентации через самолетные углы:

В результате придем к трем скалярным уравнениям

Отсюда, разрешая относительно производных , находим кинематические уравнения для самолетных углов:

§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона

1º. Задача Дарбу

1.1. Постановка задачи Дарбу

В правые части кинематических уравнений Эйлера (4.4.2), построенных в §4, входят функции , являющиеся проекциями вектора мгновенной угловой скорости на оси, связанные с твердым телом:

(4.5.1)

Если известны как функции времени, то система кинематических уравнений (4.5.1) становится замкнутой.

Поставим следующую задачу.

Определить ориентацию твердого тела, если:

• известна его мгновенная угловая скорость в любой момент времени;

• заданы значения углов ориентации в некоторый фиксированный момент .

Эта задача называется задачей Дарбу.