§4. Кинематические уравнения Эйлера

1º. Связь углов Эйлера и их производных

1.1.Векторное кинематическое уравнение Эйлера

Установим связь вектора угловой скорости твердого тела с производными от углов ориентации. В качестве углов ориентации выберем углы Эйлера .

Справедливо следующее равенство

. (4.4.1)

В нем:

• орт — направляющий вектор оси абсолютной системы координат;

• орт — направляющий вектор оси подвижной системы координат, связанной с твердым телом;

• орт — направляющий вектор линии узлов.

Соотношение (4.4.1) называется векторным кинематическим уравнением Эйлера.

1.2. Вывод векторного кинематического уравнения Эйлера

В основу вывода векторного кинематического уравнения Эйлера положим теорему о сложении угловых скоростей.

Обратимся к правилам ввода углов Эйлера для задания ориентации подвижной системы координат в абсолютном пространстве.

Напомним кинематическую схему ввода этих углов:

Углы вводились последовательными поворотами:

• на угол вокруг третьей оси (ось с направляющим ортом );

• на угол вокруг линии узлов, совпадающей с тем положением в плоскости, образованной первой и второй осью, которое (положение) займет первая ось после поворота на угол  ; орт этой оси обозначался , причем ;

• на угол вокруг третьей оси, которая является неподвижной в теле; направляющий орт этой оси совпадает с ортом .

Такие последовательные повороты можно рассматривать как три составляющих движения:

• первое движение — это вращение системы  вокруг оси относительно абсолютной системы ;

• второе движение — это вращение системы  вокруг оси относительно первой подвижной системы ;

• третье движение — это вращение твердого тела вокруг оси относительно второй подвижной системы .

Отметим, что каждое составляющее движение является элементарным вращением вокруг одной оси, неподвижной в предшествующей системе координат.

Как было показано в кинематике твердого тела, каждое такое движение имеет вектор мгновенной угловой скорости вращения относительно предшествующей системы, коллинеарный оси вращения. Причем, проекция его на эту ось совпадает с производной по времени от угла поворота, т.е.

,

где — орт оси поворота, — угол поворота, ,  .

Применим приведенные здесь рассуждения к углам Эйлера. Будем иметь

.

Теперь для определения — вектора мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства применим теорему о сложении угловых скоростей

. (4.4.1)

Справедливость формулы (4.4.1) доказана.

1.3. Связь углов Эйлера и их производных (кинематические уравнения Эйлера)

Запишем уравнение (4.4.1) в проекциях на связанные оси.

Для этого последовательно умножим скалярно на орты обе части равенства (4.4.1).

Учтем, что

,

,

,

.

В результате придем к трем равенствам

Разрешая относительно производных , получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(4.4.2)

Система уравнений (4.4.2) называется кинематическими уравнениями Эйлера.

Они являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно функций , если считать в них проекции вектора на связанные оси заданными функциями времени.