§9. Распределение скоростей в твердом теле

1º. Формула Эйлера для скоростей точек твердого тела

При векторном задании движения твердого тела для любой точки  твердого тела можем записать

. (3.9.1)

Здесь

• — положение точки  твердого тела в момент времени  относительно заданной точки отсчета в абсолютном пространстве,

• — положение полюса  связанной системы координат в момент времени  ,

• — положение точки  относительно полюса связанной системы координат.

Положение точки  в связанной системе определено координатами , которые постоянны на любых движениях твердого тела. Поэтому можем записать

,

где

— положения ортов связанной системы координат в момент времени  относительно абсолютного пространства.

Дифференцируя (3.9.1) по , получим

. (3.9.2)

Поскольку вектор в связанной системе координат неподвижен, то согласно лемме 3 (§8, п.3º) имеем

,

где — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела.

Подставляя в (3.9.2), окончательно получим

, (3.9.3)

где — скорость полюса связанной системы.

Равенство (3.9.3) называется формулой Эйлера для скоростей точек твердого тела.

Замечание.

Вывод формулы Эйлера позволяет сформулировать следующее правило построения вектора — скорости любой точки твердого тела.

Для того чтобы построить скорость  , необходимо скорость  полюса связанной системы координат и вектор параллельным переносом совместить своими началами с точкой — с полюсом абсолютной системы.

Построить сумму этих векторов по правилу параллелограмма.

Полученный таким образом вектор  параллельным переносом совместить началом с точкой  , поскольку скорость  точки  связана с этой точкой.

Иначе говоря, для построения вектора  можно применить правило суммирования свободных векторов, являющихся составляющими вектора  , а затем результат сложения перенести в точку  своим началом.

2º. Классификация движений твердого тела

Исходя из формулы Эйлера, можно выделить следующие группы движений твердого тела, т.е. дать следующую классификацию его движений.

1. Если и в некоторый момент времени  , то такое движение называется «мгновенным покоем твердого тела».

2. Если и в некоторый момент времени  , то движение называется «мгновенным поступательным движением твердого тела».

3. Если и в некоторый момент времени  , то такое движение называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной точки».

4. Если существуют две точки твердого тела, скорости которых равны нулю в некоторый момент времени  , и при этом , то движение твердого тела называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной оси».

Замечание.

Если оказывается, что равенства или неравенства, которым удовлетворяют вектор-функции , и в данной классификации, выполняются на некотором промежутке времени  (т.е. справедливы при всех ), то слово «мгновенный» опускается. Тогда движения называются соответственно «покой», «поступательное», «вращение вокруг неподвижной точки», «вращение вокруг неподвижной оси».