3º. Понятие вектора мгновенной угловой скорости твердого тела

Как отмечено в §3, твердое тело имеет несчетное множество связанных систем координат. Все они обладают общими свойствами:

а) в этих системах координаты всех точек твердого тела остаются постоянными при любых движениях твердого тела;

б) базис каждой связанной системы координат сохраняет неизменными проекции на оси всех других связанных систем координат.

В отношении второго свойства (свойства б)) следует сделать оговорку. Оно справедливо для твердых тел, не являющихся стержнями, т.е. таких тел, все точки которых не сосредоточены на одной прямой.

В случае, когда моделью тела является прямая, любая система координат, которая одной своей координатной осью совпадает с точками твердого тела, а две другие оси ортогональны этой прямой и могут вращаться вокруг нее, также будет удовлетворять условию а), т.е.

будет удовлетворять определению понятия «связанной системы координат».

Чтобы не усложнять дальнейшие выводы, в случае твердого тела, сосредоточенного на одной прямой, в качестве связанных систем будем рассматривать только такие, которые неподвижны друг относительно друга (т.е. находятся в покое относительно друг друга).

Покажем, что векторы у всех связанных систем координат одного и того же твердого тела совпадают.

Пусть — вектор, неподвижный в связанной системе координат.

Докажем следующую лемму.

Лемма 3

Для любого вектора , неподвижного в связанной системе координат, справедлива формула

. (3.8.18)

Здесь — вектор мгновенной угловой скорости связанной системы координат по отношению к заданной абсолютной.

Доказательство

Очевидно,

.

Первое слагаемое, обозначенное круглыми скобками, равно нулю, так как .

Во втором слагаемом векторы заменим правыми частями уравнений Эйлера (3.8.14)

. (3.8.14)

Получим

.

Лемма 3 доказана.

Пусть теперь в твердом теле заданы две связанные системы координат , .

Обозначим через ,  , векторы мгновенной угловой скорости соответствующих связанных систем координат относительно абсолютной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2

Векторы ,  , связанных систем координат совпадают в любой момент времени  .

Доказательство

Доказываем от противного. Пусть в некоторый момент времени  .

В соответствии с определением 1 удовлетворяют уравнениям Эйлера (3.8.14) в любой момент времени  .

. (3.8.19)

Поскольку векторы неподвижны в первой связанной системе координат, то, согласно лемме 3 и формуле (3.8.18) в любой момент времени  выполняется

. (3.8.20)

В частности, соотношения (3.8.19),(3.8.20) выполняются и в момент времени  .

Получили, что векторы в момент времени  удовлетворяют уравнениям Эйлера (3.8.19) и (3.8.20) для двух различных и . Это невозможно, т.е. должно быть в силу единственности решения уравнения Эйлера при фиксированной тройке векторов (в нашем случае ).

Пришли к противоречию с исходной посылкой о том, что . Теорема 2 доказана.

Определение 2

Вектором мгновенной угловой скорости твердого тела по отношению к заданной системе отсчета называется вектор мгновенной угловой скорости системы координат, жестко связанной с твердым телом.

Замечания

1. Из теоремы 2 следует, что твердое тело имеет единственный вектор мгновенной угловой скорости, который может быть определен по движению любой связанной системы координат.

Этот вектор задается формулой (3.8.13)

, (3.8.13)

где в качестве ортов могут быть взяты орты любой системы координат, жестко связанной с твердым телом.

В качестве производных по времени должны быть взяты условные производные в той системе отсчета, по отношению к которой определяется вектор мгновенной угловой скорости твердого тела (иначе говоря, по отношению к которой рассматривается движение твердого тела).

2. Проекции вектора твердого тела на оси связанной системы координат, как правило, обозначаются . Они зависят от выбора связанной системы.

Однако сам вектор (его величина и направление в заданной системе отсчета) не зависит от выбора связанной системы.

3. Связь величин с элементами матрицы ориентации и их производными , , определяется соотношениями (3.8.17)

(3.8.17)

в которых следует положить

, .

В векторной записи эта связь имеет вид (3.8.15) и (3.8.16).

Отсюда делаем вывод, что — это свободный вектор. Он не зависит от координат полюса связанной системы, а лишь зависит от матрицы ориентации  и от ее производной по времени.