2º. Кинематическая лемма Лагранжа
Для функций (2.6.1), (2.6.3):
, , (2.6.1)
, , (2.6.3)
на любых движениях механической системы справедлива следующая кинематическая лемма Лагранжа.
Лемма Лагранжа
На любых движениях механической системы справедливы следующие соотношения:
,
,
, (2.6.13)
,
,
. (2.6.14)
В
левой части равенства (2.6.14) выражение 
обозначает полную производную по
времени
от вектор-функции 
вдоль движения механической системы
(см. гл.1, §5, п.8º, определение 11).
Равенства
(2.6.13) и (2.6.14) называются основными
кинематическими соотношениями Лагранжа
при дифференцировании функций
и
,
задаваемых формулами (2.6.1) и (2.6.3),
соответственно.
Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство аналогичных утверждений, содержащихся в лемме Лагранжа в главе 1, §5, п.8º.
3º. Ограничения, накладываемые голономными связями на обобщенные координаты и обобщенные скорости
В этом пункте дадим ответ на вопрос, какие ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости накладывают связи в голономных механических системах.
Ответ на этот вопрос следует искать в тех требованиях, которые предъявляются к обобщенным координатам при их выборе для описания движений механических систем, а также в условиях, которым должны удовлетворять математические модели связей в таких системах.
3.1. Отсутствие ограничений на изменения обобщенных координат
Согласно определению обобщенных координат голономных механических систем и условий, которые накладываются на выбор обобщенных координат, можно записать следующее.
Подстановка в уравнения геометрических связей
, 
, (2.6.15)
функций
,
,
задающих связь обобщенных координат
и положений точек механической системы,
обращают равенства (2.6.15) в тождества
по
и
:
,
. (2.6.16)
Тождества (2.6.16) будут справедливы для функций , , соответствующих любому выбору переменных , который позволяют сделать уравнения связей (2.6.15).
Из этого свойства следует вывод 1.
Вывод 1
При любом выборе обобщенных координат, который допускают геометрические связи (2.6.15), уравнения связей не накладывают никаких ограничений на значения этих координат.
3.2. . Отсутствие ограничений голономными связями на изменения обобщенных скоростей.
Проверим
теперь, будут
ли
уравнения
голономных связей накладывать ограничения
на значения обобщенных скоростей
.
В
соответствии с ранее сделанными выводами
(см. §2, п.1º) эти уравнения действительно
накладывают ограничения на скорости
.
Они имеют вид (задаются уравнениями (2.2.5) из §2, п.1º):
,
. (2.6.17)
Подставим зависимость (2.6.3)
, , (2.6.3)
скоростей
,
,
от обобщенных скоростей
в ограничения (2.6.17). Придем к равенствам
,
, (2.6.18)
в которых
,
. (2.6.19)
Покажем, что
при любых
,
,
,
,
и
при любых
.
Продифференцируем тождества (2.6.16)
, , (2.6.16)
по
,
,
и по
при любых
,
.
Получим
, 
. (2.6.20)
Раскрывая левую часть тождеств (2.6.20) и сравнивая с (2.6.19), можем записать
,
,
.
Учитывая (2.6.20), приходим к требуемым тождествам:
,
для
и
.
Отсюда делаем вывод 2.
Вывод 2
Голономные связи не накладывают никаких ограничений на обобщенные скорости.