2º. Обобщенные координаты в неголономной механической системе

Определение 1

Обобщенными координатами неголономной механической системы называются обобщенные координаты голономной системы, которая строится из неголономной системы исключением кинематических связей из состава действующих связей.

Иначе говоря, обобщенные координаты неголономной системы вводятся через уравнения геометрических связей (2.5.1) таким же образом, как это делается в голономных системах, имеющих связи, совпадающие с системой уравнений (2.5.1).

3º. Число степеней свободы движения механической системы

Введем обозначение . Поскольку , то .

Определение 2

Число называется числом степеней свободы движения неголономной механической системы.

Из уравнений (2.5.6), (2.5.7) и условия (2.5.5)

, , (2.5.6)

, , (2.5.7)

. (2.5.5)

можно сделать следующий вывод:

число задает количество независимых компонент скоростей точек, входящих в состав неголономной механической системы.

Действительно, из уравнений (2.5.6), (2.5.7) при выполнении условия (2.5.5), согласно теореме о неявных функциях, можно выразить компонент скоростей через оставшихся независимых компонент этих скоростей.

Если неголономные связи отсутствуют, т.е. механическая система является голономной, то отсутствуют уравнения (2.5.7)

, . (2.5.7)

А тогда из системы (2.5.6)

, , (2.5.6)

можем выразить  компонент скоростей  , , точек, входящих в состав голономной механической системы. Эти компоненты будут выражаться через остальных независимых компонент.

В таком случае, если распространим понятие числа степеней свободы движения и на голономные системы, то будем иметь:

,

т.е. в голономных системах число степеней свободы движения совпадает с числом степеней свободы положения .

Иначе говоря, в голономных системах количество независимых координат положения механической системы и число независимых компонент скоростей совпадают.

Что касается неголономных систем, то для них всегда имеет место неравенство

.

§6. Обобщенные скорости и ускорения. Основные кинематические соотношения Лагранжа

1º. Обобщенные скорости и ускорения и их связь со скоростями и ускорениями точек механической системы

Пусть задано движение механической системы ,  , через обобщенные координаты.

Определение

Производная по времени от обобщенной координаты  на движении ,  , механической системы называется обобщенной скоростью по обобщенной координате  ,  .

Вторая производная по называется обобщенным ускорением механической системы по координате ,  .

Установим связь обобщенных скоростей  и ускорений  ,  , со скоростями  и ускорениями  ,  , точек механической системы.

Для этого построим прямую зависимость скоростей  и ускорений ,  , точек механической системы от обобщенных скоростей  и обобщенных ускорений  ,  . Затем найдем искомые обратные зависимости и ,  , от и ,  .