Глава 2. Кинематика системы материальных точек
§5. Обобщенные координаты в неголономных системах. Число степеней свободы движения
1º. Условия, накладываемые на математические модели связей в неголономных системах
1.1. Запись уравнений связи в координатной форме
Неголономные механические системы с линейными кинематическими связями описываются следующими уравнениями
, 
, (2.5.1)
,
. (2.5.2)
Считаем, что все интегрируемые связи проинтегрированы и вошли в первую группу уравнений, т.е. вторая группа содержит только неинтегрируемые дифференциальные связи. Причем вторая группа уравнений обязательно присутствует.
В
обозначениях, принятых в §4 для
вектора-столбца
,
составленного из координат точек
механической системы
,
...,
,
система уравнений (2.5.1), (2.5.2) примет вид (сохраняем за ней ту же нумерацию):
,
,
(2.5.1)
,
. (2.5.2)
1.2. Требования, предъявляемые к уравнениям геометрических связей
Как и в §4, требуем, чтобы уравнения голономных связей удовлетворяли условиям, сформулированным в этом параграфе:
а)
;
б)
функции
,
— определены и дважды непрерывно
дифференцируемы по совокупности
переменных
и 
из области 
;
в)
при любых значениях
.
1.3. Требования, предъявляемые к уравнениям кинематических (неинтегрируемых) связей
На кинематические связи (2.5.2) дополнительно накладываем следующие условия.
,
т.е. общее количество связей (голономных
и неголономных) должно быть меньше
.
Функции
и
,
,
определены и непрерывно дифференцируемы
по совокупности переменных
и
из области
.
Прежде чем сформулировать третье условие, составим матрицу
размерности 
.
Представим ее в блочном виде
, (2.5.3)
где
— матрица размерности 
,
совпадающая с матрицей Якоби, составленной
по переменным
от функций
,
;
— матрица коэффициентов при скоростях
в уравнениях (2.5.2).
Матрица определяется формулой (2.4.2) §4
. (2.4.2)
Матрица имеет вид
. (2.5.4)
В (2.5.4) введены обозначения:
,
,
,
— координаты
вектора
в заданной системе отсчета.
Тогда последнее условие (условие 3), накладываемое на кинематические связи, состоит в требовании, чтобы
(2.5.5)
при всех .
Поясним смысл условия 3.
Для этого определим, какие ограничения на скорости точек неголономной механической системы накладываются всеми ее связями.
1.4. Ограничения на скорости, накладываемые связями в неголономных системах
Перейдем от уравнений связи (2.5.1) к их дифференциальной форме и присоединим к ним уравнения кинематических связей. Придем к следующей системе уравнений дифференциальных связей
,
, (2.5.6)
,
. (2.5.7)
Легко видеть, что матрица , имеющая вид (2.5.3)
, (2.5.3)
совпадает с матрицей коэффициентов при скоростях в системе (2.5.6), (2.5.7).
Ясно, что каждое уравнение системы (2.5.6), (2.5.7) при любых фиксированных положениях в моменты времени из области задает ограничения на скорости механической системы, которые она может иметь в эти моменты времени в указанных положениях.
Следовательно, механическая система может иметь в положении, которое она занимает в момент времени , только такие скорости, которые являются решениями совместной системы уравнений (2.5.6), (2.5.7).
Из вида системы уравнений (2.5.6), (2.5.7) легко устанавливается смысл условия 3, о котором говорится в пункте 1.3.
А именно, согласно теореме об условиях независимости функций (см. §4, п.1º), равенство (2.5.5)
(2.5.5)
означает независимость функций, задающих левые части равенств (2.5.6), (2.5.7).
В этих функциях в качестве аргументов выступают скорости механической системы, а ее положения и время рассматриваются как параметры.
Следовательно, условие 3 обеспечивает выполнение требования, чтобы ограничения, которые накладываются на скорости точек механической системы при совместном действии голономных и кинематических связей в любой момент времени в любом положении, допускаемом голономными связями (2.5.1)
, , (2.5.1)
были независимыми.
Замечание
Нетрудно заметить, что выполнение равенства (2.5.5) влечет за собой выполнение следующих равенств:
, (2.5.8)
. (2.5.9)
Равенство (2.5.9) совпадает с условием в), накладываемым на голономные связи.
Поэтому при выполнении условия 3, накладываемого в неголономных механических системах на дифференциальные связи в виде равенства (2.5.5), нет необходимости выделять условие в), предъявляемое в этих системах к связям геометрическим.
Однако справедливость (2.5.8) и (2.5.9) при выполнении (2.5.5) будет учитываться в дальнейшем.