Исследование температурной зависимости электропроводности и вычисление ширины запрещенной зоны полупроводников Цель и содержание работы

В лабораторной работе проводится измерение электропроводности полупроводника и исследование ее температурной зависимости. Используя график зависимости электропроводности от температуры необходимо определить ширину запрещенной зоны полупроводника. В работе измеряются сопротивление полупроводника электронным омметром и сигнал термодатчика, находящегося в тепловом контакте с полупроводником.

Теоретическое введение

Электропроводность – это наиболее хорошо исследованная физическая характеристика твердых веществ. Она вызывается различными носителями заряда: электронами, дырками, положительными и отрицательными ионами и т.п. Проводимостью называется коэффициент  в законе Ома:

j = E. (1)

Конкретный вид коэффициента электропроводности  зависит от природы рассматриваемого вещества и выбора модели его структуры. Так для простейшей классической модели металла выражение для j имеет вид

 = e^2n<>/m* = en_n, (2)

где e и n – заряд и концентрация электронов соответственно, <> – среднее время свободного пробега носителей заряда, _n – подвижность электронов. Величина удельной электропроводности металлов лежит в диапазоне от 610⁵ до 610⁷ Ом^–1м^–1. Электропроводность диэлект­ри­ков находится в интервале от 10^–8 до 10^–18 Ом^–1  м^–1. Для полупроводников  находится в пределах от 10⁶ до 10^–8 Ом^-1  м^–1.

Формула (2), несмотря на свою простоту, может быть применена для расчета величины удельной электропроводности не только в металлах, но и в более сложном случае полупроводников. Чтобы найти зависимость электропроводности полупроводника от температуры, необходимо, прежде всего, определить концентрацию свободных носителей, способных участвовать в процессе проводимости. Электроны проводимости в полупроводниках, так же как и в металлах, рассматриваются как идеальный газ, который подчиняется статистике Ферми –Дирака.

Функция распределения Ферми–Дирака

(3)

выражает вероятность того, что электрон находится в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т; k – постоянная Больцмана, Е_F – энергия Ферми, постоянная во всех точках системы, находящейся в равновесии.

Из формулы (3) следует, что при любой температуре, отличной от абсолютного нуля, вероятность заполнения уровня, энергия которого равна энергии Ферми (Е = Е_F) равна 1/2. Другими словами, уровень с такой энергией с одинаковой вероятностью либо заполнен электронами, либо пуст. Если в системе имеется много уровней, имеющих одну и ту же энергию, то половина этих уровней будет занята, а половина пуста. При Т = 0 К все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, будут заполнены, а выше – пусты. При T > 0 уровни, расположенные ниже Е_F, будут заняты не полностью; уровни, расположенные выше Е_F, не полностью пусты, но всегда уровни с энергией Е = Е_F будут заполнены наполовину. Энергию Е_F определяют как энергию состояния, для которого вероятность быть занятым электроном равна 1/2.

Поскольку f(Е) есть вероятность заполнения уровней, то полную концентрацию носителей в полупроводнике можно выразить через величину плотности состояний:

, (4)

где g(E) ~ E^1/2 плотность состояний (число состояний в единице объема в интервале энергий от E до E+ dE).

Плотность квантовых состояний имеет вид

. (5)

Подставляя (3) и (5) в (4) и введя обозначения

и , (6)

получим концентрацию электронов в зоне проводимости:

, (7)

где

(8)

называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости, а функция

(9)

представляет собой интеграл Ферми –Дирака.

Подобным же образом для валентной зоны, характеризующейся скалярной эффективной массой дырок m_p, концентрация свободных дырок

       (10)

где  – вероятность того, что состояние с энергией Е занято дыркой. В формуле (10) обозначено:

; ;

Е – ширина запрещенной зоны. N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне. Энергия отсчитывается от дна зоны проводимости. Условие электрической нейтральности в собственном полупроводнике требует, чтобы выполнялось равенство n = p = n_i . Уровень химического потенциала (Ферми) определяется как корень уравнения электронейтральности:

(11)

Для невырожденного собственного полупроводника, когда величина n_i мала по сравнению с N_C и N_V, интегралы Ферми могут быть заменены их приближенными значениями

(12)

или

. (13)

Из (13) можно найти

. (14)

Подставляя (14) в (12), получим

. (15)

Соответственно электропроводность собственных полупроводников быстро растет с ростом температуры по закону

, (16)

где ₀ – коэффициент, слабо зависящий от температуры, явный вид которого легко находится из (2) и (3). Для собственного полупроводника:

 . (17)

С ростом температуры подвижности дырок и электронов слабо (по сравнению с экспонентой) уменьшаются и зависимость (Т) определяется только экспоненциальной зависимостью.

Рассмотрим теперь примесный электронный полупроводник с концентрацией донорной примеси N_d, расположенной на Е_d ниже дна зоны проводимости. Поскольку Е_d значительно меньше ширины запрещенной зоны, то при достаточно низких температурах электроны могут переходить в зону проводимости только с донорных уровней, и их концентрация в зоне проводимости:

, (18)

где и ; . (19)

В отсутствие вырождения при достаточно низких температурах, когда собственная проводимость пренебрежимо мала, положение уровня Ферми определяется выражением

, (20)

из которого видно, что при Т = 0 К уровень Ферми расположен на E_d/2 ниже дна зоны проводимости.

Рассмотрим изменение положения уровня Ферми с температурой. На рис. 1 приведена зонная структура полупроводника, где обозначено E_С и E_V – дно зоны проводимости и потолок валентной зоны, Е – ширина запрещенной зоны, E_d и Е_d – положение и глубина залегания донорной примеси в запрещенной зоне относительно E_C . Слева от зонной диаграммы представлен вид функции Ферми для различных температур. Положение уровня Ферми соответствует значению f(E) = 1/2.

Справа от зонной диаграммы представлены зависимости плотности состояний g(E) для зоны проводимости и валентной зоны. Более высокая плотность состояний в валентной зоне, которая определяется величиной эффективной массы ~ ( )^3/2, имеет более плотную штриховку. Поскольку в отсутствие перекрытия волновых функций все примеси практически расположены на одном уровне, то плотность состояний для них будет иметь вид размытой -функции. При температуре T = 0 K электронов в зоне проводимости нет. Все примесные донорные уровни заполнены электронами. Поэтому уровень Ферми должен быть расположен в промежутке между E_d и E_с. Расчет дает значение E_F = Е_d/2 (см. кривая 1 на рис. 1).

Рис. 1. Диаграмма изменения положения уровня Ферми при различных температурах (пояснения в тексте)

При повышении Т электроны переходят с донорных уровней в зону проводимости, занимая в ней уровни, расположенные вблизи дна зоны, а примесные уровни будут заполнены не полностью. Следовательно, переход от f(E) = 1 до f(E) = 0 будет осуществляться в более широком диапазоне энергий.

Увеличение температуры приведет к последовательному уширению области спада f(E) от 1 до 0. Величина этого интервала составляет приблизительно 2kТ.

Поскольку на примесных уровнях все электроны имеют примерно одну и ту же энергию E_d, а в зоне проводимости они последовательно заполняют все более высокие уровни, то размытие функции Ферми будет происходить в основном в область более высоких, чем E_d, энергий. Это означает, что при нагревании полупроводника уровень, для которого f(E) = 0,5, сдвинется вверх, ближе к зоне проводимости (кривая 2 на рис. 1).

С ростом энергии плотность состояний в зоне проводимости возрастает g(E) ~ E^1/2, поэтому с дальнейшим повышением температуры уровень Ферми будет смещаться вверх все медленнее, а затем понижаться. При некоторой определенной температуре, когда половина примесных атомов будет занята, а половина свободна, уровень ферми будет совпадать с уровнем примесных атомов (кривая 3 на рис.1). При еще более высокой температуре, когда kT >> E_d, на донорных уровнях не останется электронов. Все донорные уровни будут свободны, а концентрация электронов в зоне проводимости будет равна концентрации доноров N_d. В этом случае уровень Ферми опустится ниже примесных уровней, а концентрация электронов не будет зависеть от температуры до тех пор, пока тепловая энергия не станет сравнима с шириной запрещенной зоны kT  E_g. При kT  E_g начинается собственная проводимость, при которой концентрация электронов примерно равна концентрации дырок. Интервал энергий, в котором f(E) меняется от 1 до 0, простирается от области, лежащей внутри валентной зоны, до области, лежащей внутри зоны проводимости. Этому случаю соответствует кривая 4 на рис. 1. Центр интервала теперь будет расположен в середине запрещенной зоны, если плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне равны. Но поскольку плотность состояний в валентной зоне выше (больше эффективная масса дырок), а число состояний одинаково, то хвост распределения функции Ферми будет смещен несколько выше в сторону зоны проводимости. Поэтому уровень Ферми будет находиться выше середины запрещенной зоны.

В донорном полупроводнике концентрация электронов также будет изменяться по экспоненциальному закону

, (21)

а электропроводность полупроводника, легированного донорами, описывается выражением

 = ₀ ехр (– E/2kT)+ _d ехр (– E_d/2kT), (22)

где E_d – энергетический барьер между энергетическим уровнем донорной примеси и дном зоны проводимости. Значения _d, так же как и ₀, слабо зависят от температуры. Существенно, что E_d и E являются параметрами вещества, определяющими при данной температуре вклад в проводимость того или иного слагаемого в формуле (22). Обычно E_d << E, поэтому введение примесей резко изменяет характер электропроводности полупроводника. Если E_d << E, то при E << kТ электропроводность полупроводника определяется донорными примесями. Такой тип проводимости носит название n-типа. В противном случае, когда E_р << E, электропроводность определяется в основном дырками. Такой тип проводимости называется дырочным или проводимостью р-типа. Cобственная электропроводность полупроводника реализуется в случае, когда выполняется условие E  kТ.

Т

Рис. 2. Зависимость величины ln() для примесного полупроводника от             обратной температуры

ипичный вид зависимости величины ln() примесного полупроводника от обратной температуры изображен на рис. 2. В этой зависимости имеется три области:

1-я – область примесной проводимости (низкие температуры). В ней носители заряда образуются примесными атомами: в электронном полупроводнике – донорами, а в дырочном – акцепторами;

2-я – область истощения примесей. В этом температурном интервале концентрация носителей заряда от Т не зависит, так как все примеси уже истощены, а переходы электронов из валентной зоны в зону проводимости еще не начались из-за недостаточно высокой энергии. Иногда наблюдается уменьшение проводимости, обусловленное уменьшением подвижности с ростом температуры;

3-я – область собственной проводимости. В этой области концентрации электронов и дырок практически равны.

Электропроводность собственного полупроводника выражается формулой (17):

 .

Из температурной зависимости электропроводности можно определить ширину запрещенной зоны полупроводника. Очевидно, если уравнение (16) построить графически в координатах ln от Т^–1,

, (23)

то ширина запрещенной зоны может быть определена из наклона этой линейной зависимости.

, или . (24)

Расчет ширины запрещенной зоны по формуле (24) предполагает, что сама величина E от температуры не зависит. В действительности зависимость E от Т имеется, но она достаточно слабая и ею можно пренебречь. Кроме того, сомножитель (N_cN_v)^1/2  Т ^3/2, а подвижности _n и _р для Ge и Si при температурах проведения эксперимента пропорциональны Т ^3/2.