Результаты измерения массы тела у 25 юношей в возрасте 18 лет

Масса тела, кг (v)	59	60	61	62	63	64
Число лиц (Р)	1	4	6	9	3	2	Всего (п) 25

Мода (Мо) - соответствует величине признака, которая чаще других встречается в данной совокупности. Иначе говоря, за моду принимают варианту, которой соответствует наибольшее количество частот (Р) вариационного ряда.

В нашем примере: Мо = 62 кг, так как эта масса тела наблюдается у 9 из 25 юношей.

Медиана (Ме) - величина признака, занимающая серединное положение в вариационном ряду. Она делит ряд на две равные части по числу наблюдений. Для определения медианы надо найти середину ряда. Это означает, что середина ряда приходится на тринадцатую варианту с начала ряда или тринадцатую варианту с конца ряда. Для определения Ме ряд обязательно нужно выстроить по порядку значения вариант.

В нашем примере Ме =62кг. При четном числе наблюдений за медиану принимают среднюю величину из двух центральных вариант.

Например: для ряда 2, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 16 центральными вариантами будут 4-я и 5-я. Медиана в этом случае равна: 9+11= 10

Например:

Таблица 7.

Среднеарифметический способ расчета средней массы тела юношей

в возрасте 18 лет (в кг)

Для простой М		Для взвешенной М
варианты не повторяются		варианты повторяются
V кг	P	V кг	р	V × р
64	1	64	2	128
63	1	63	3	189
62	1	62	9	558
61	1	61	6	366
60	1	60	4	240
59	1	59	1	59
V= 369	n = 6		n =25	V×p= 1540
М=369/6=61,5 кг		М=1540/25=61,6 кг

Средняя арифметическая величина (M) опирается на все наблюдения, и рассчитывают ее несколькими способами в зависи­мости от численности вариант, характера вариационного ряда и наличия вычислительной техники.

Основными способами расчета (М) являются: среднеарифметиче­ский способ и способ моментов (условных отклонений).

Средняя арифметическая простая - вычисляется из вариацион­ного ряда, в котором каждая варианта встречается только один раз (для всех вариант р=1), средняя арифметическая взве­шенная вычисляется из вариационного ряда, в котором отдельные варианты встречаются различное число раз (р > 1).

Способ моментов.

Применяя этот способ, среднюю ариф­метическую рассчитывают по формуле:

Эта формула технически упрощает расчеты, особенно в тех случаях, когда варианты состоят из многозначных чисел, а совокупность - из большого числа наблюдений.

Например: Методика расчета средней арифметической величины по способу моментов Таблица 8.

V кг	p	а	а ×р
64	2	+2	+4
63	3	+1	+3
62	9	0	0
61	6	-1	-6
60	4	-2	-8
59	1	-3	-3
n =25		а × р = -10 кг

Этапы расчета М по способу моментов:

1) за условную среднюю Ао рекомендуется принять варианту, чаще других повторяющуюся в вариационном ряду. В нашем примере: Ао = М = 62 кг., так как 62 кг было у 9 юношей из 25;

2) определяем а - условное отклонение от условной средней. Для этого из каждой варианты вычитаем условную среднюю а = (V - Ао).

В нашем примере: а = 64 - 62 = + 2 и т. д.;

3) умножаем условное отклонение (а) на частоту (р) каждой варианты и получаем произведения

(а × р).

В нашем примере: 2 ×(+2) = 4 и т.д.

4) получаем сумму  а × р

В нашем примере: - 10кг;

5) определяем интервал между группами вариант ( I)

В нашем примере: i = 1 кг;

6) момент первой степени

В нашем примере: -10 кг / 25× 1 = - 0,4

7)рассчитываем среднюю арифметическую по способу моментов:

В нашем примере: М = 62 кг – 0,4 = 61,6 кг

Если вариационный ряд предварительно был сгруппирован, то в качестве ряда (V) используются середины групп.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свой­ствами.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = Мо = Ме.

2. Средняя является обобщающей величиной и за ней не видны колебания, различия индивидуальных данных.

3. Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю. d =  (V-M) = 0

Величина того или иного признака неодинакова у всех членов совокупности, несмотря на ее относительную однородность.

Наиболее полную характеристику разноо­бразию признака в совокупности дает так называемое среднее квадратическое отклоне­ние, обозначаемое греческой буквой «сигма» - .

Существует два способа расчета среднего квадратического отклонения: среднеарифметический и способ моментов. При сред­неарифметическом способе расчета применяют формулу:  =

где d - истинное отклонение вариант от истинной средней (V-М). Эта формула используется при небольшом числе наблюдений (n<30), когда в вариационном ряду все частоты р =1. При р>1 используют формулу такого вида:

 = ;

При Р>1 и N>30 -  =

Следующая формула предназначена для определения  по способу моментов:  =i×

где а - условное отклонение вариант от условной средней: а =V - А; a²×p/n момент второй степени, а (a×p/n)² - момент первой степени, возведённый в квадрат. Этот способ применяется в тех случаях, когда нет вычислитель­ной техники, а вариационный ряд громоздкий как за счет большого числа наблюдений, так и за счет вариант, выраженных многознач­ными числами. При числе наблюдений, равном 30 и менее, в момен­те второй степени n заменяют на (n-1).

Например: Расчет среднего квадратического отклонения по среднеарифметическому способу. Таблица 9.

Рост мальчиков 12 лет.	Число детей (р)	V • Р	d	d2	d2 × Р
155	1	155	+2	4	4
154	4	616	+1	1	4
153	6	918	0	0	0
152	4	608	—1	1	4
151	1	151	—2	4	4
М = 153	n = 16	V ×p = 1448			 d2 × Р = 16

Последовательность расчета .

1.Определить М (по среднеарифметическому способу).

В нашем примере: = 153 см.

2.Найти истинное отклонение d =(V-M).

В нашем примере:155-153=+2; 154-153= +1 и т.д.

3.Возвести каждое отклонение в квадрат d^2.

4.Найти произведение (d² × р) по всем строкам ряда.

5.Определить сумму ( d² ×р).

В нашем примере: 4+4+0+4+4=16

6.Рассчитать  по формуле:

В нашем примере: 16/16-1 =1,05 см. =1,05

Например: Расчет среднего квадратического отклонения по способу моментов Таблица 10.

Рост, см (V)	Число детей (р)	а	а×р а×р	a2×р
155	1	+2	2	4
154	4	+ 1	4	4
153	6	0	0	0
152	4	-1	-4	4
151	1	-2	-2	4
	n = 16		ар = 0	a2×р = 16

Последовательность расчета  по способу моментов.

1.Найти условную среднюю А

В нашем примере: А =153 cм.

2.Определить условное отклонение (а) каждой варианты от условной средней: а =V - А.

3.Получить произведения а × р, а затем их просуммировать.

В нашем примере: =0.

4.Рассчитать истинную среднюю арифметическую по формуле

=153 см, так как сумма отклонений равна 0, то поэтому М=А.

5.Получить произведения а²×p по всем строкам вариационного ряда и просуммировать их.

В нашем примере:a²×p =16.

6. Рассчитать по способу моментов по формуле:  =i×

В нашем примере: =1× = 1,05

Ошибка репрезентативности (m) является важнейшей стати­стической величиной, необходимой для оценки достоверности ре­зультатов исследования. Эта ошибка возникает в тех случаях, когда требуется по части охарактеризовать явление в целом. Эти ошибки неизбежны. Они проистекают из сущности выбороч­ного исследования: генеральная совокупность может быть охарак­теризована по выборочной совокупности только с некоторой по­грешностью, измеряемой ошибкой репрезентативности.

По величине ошибки репрезентативности определяют, насколько результаты, полученные при выборочном наблюдении, отличаются от результатов, которые могли бы быть получены при проведении сплошного исследования всех без исключения элементов генераль­ной совокупности.

Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине, т. е. к величине допустимой погрешности. Делается это путем привлечения в выборку достаточ­ного количества наблюдений (n):

• – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться относительные величины.

• – для выборочного исследования, в котором будут рассчитываться средние величины.

p – вероятность наступления явления (выбирается по данным аналогичных исследований)

q- вероятность не наступления явления, q =100-p

t- доверительный критерий – таблица 11.

- предельная ошибка, вытекает из таблицы 6, исходя из выбранного t.

Таблица 11.

Степень безошибочного прогноза (Р)	Доверительный критерий (t)	Предельная ошибка ()
68%	1	-
95%	2	5%
99%	3	1%

Если аналогичных исследований нет, то p и q принимаются как 50% на 50%.

Ошибки репрезентативности рассчитываются по следующим формулам:

• – для относительных величин;

• – для средних величин.

В медицине и здравоохранении по разности параметров оценивают средние и относительные величины, полученные для разных групп населения по полу, возрасту, а также групп больных и здоровых и т. д. Во всех случаях при сопоставлении двух сравниваемых величин возникает необходимость не только определить их раз­ность, но и оценить ее достоверность. Достоверность разности величин, полученных при выборочных исследованиях, означает, что вывод об их различии может быть перенесен на соответствующие генеральные совокупности. Достоверность различия сравниваемых величин измеряется доверительным критерием (критерием точности t), который рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин.

Формула оценки достоверности разности сравниваемых величин такова:

• - для средних величин;

• - для относительных величин.

Разность величин считается достоверной при значениях, равных или больших 2. Р₁ всегда выбирается больше, чем Р_2.

Например: При изучении влияния анаболических гормонов при инфаркте миокарда на белковый обмен были получены следующие данные: общий белок до лечения (Р) составил 7,14% (m-±0,17%), после лечения (Р) 8,04% (m-±0,12%).

Последовательность расчёта:

1. Определяем большую величину как Р_1, а меньшую как Р_2.

2.Возводим ошибки репрезентативности в квадраты:

В нашем примере: 0,17²=0,0289;0,12²= 0,0144.

3.Складываем квадраты и извлекаем квадратный корень.

В нашем примере: 0,0289+0,0144=0,0433 = 0,2.

4.Находим разность сравниваемых величин и делим на знаменатель.

В нашем примере: 8,04-7,14=0,9/0,2=4,5.

5.Оцениваем результат.

В нашем примере: 4,52, значит разность величин достоверна, т.е, анаболические гормоны действительно увеличивают уровень общего белка.