Математический маятник.

Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Физический маятник.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

8. Колебания с трением. Диссипативная функция.

В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще. Рассмотрим колебания пружинного маятника в вязкой среде.

Для тела, движущегося в однородной вязкой среде, сила трения зависит только от скорости. При малых скоростях можно считать, что сила трения

, где бета – положительный постоянный коэффициент.

С учётом силы трения уравнение свободных колебаний пружинного маятника принимает вид:

, где б – коэффициент затухания.

На рис. 1 приведена зависимость амплитуды колебаний от времени при различных соотношениях между параметрами   и  .

Рис. 1.  Зависимость   при различных соотношениях между собственной частотой  и коэффициентом затухания  .

Очень часто "качество" колебательной системы характеризуют безразмерным параметром  , называемым добротностью. Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии   к энергии   теряемой за период [3]:

(6)

В случае слабого затухания ( ) зависимость полной энергии от времени выражается в виде

(7)

где   – начальное значение полной энергии осциллятора. Тогда в соответствие с формулами (6) и (7)

(8)

 Таким образом, добротность характеризует скорости превращения энергии в колебательной системе. С другой стороны по порядку величины это есть не что иное, как число колебаний, совершаемых системой за характерное время их затухания  . Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колебаний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колебаний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см. пункт 2.3.3).