1.7. Влияние пространственного заряда на процесс экстракции эмитированных электронов
Испущенные катодом электроны группируются в прикатодной области, образуя своеобразное электронное «облако» (рис.1.1) со своим объёмным, пространственным зарядом, который зависит от температуры в соответствии с (1.28). Поле пространственного заряда тормозит эмитируемые катодом электроны, поэтому необходимо затратить некоторую энергию для извлечения – экстракции (от англ. exstraction – извлечение) электронов из электронного облака. Эту энергию электроны получают от внешнего – по отношению к катоду – поля, создаваемого с помощью анода путём приложения к нему относительно катода постоянного напряжения см. 1.3. Отбираемые из прикатодной области электроны составляют анодный ток (ток на анод), следовательно, анод также может быть назван коллектором или экстрактором электронов, эмитированных катодом.
Таким образом, плотность анодного тока зависит от распределения потенциала в межэлектродном промежутке, которое, в свою очередь, определяется плотностью объёмного заряда и потенциальной диаграммой промежутка анод-катод, снятой при холодном катоде.
Определить потенциал в любой точке поля между электродами с учётом пространственного заряда можно с помощью уравнения Пуассона:
(1.29)
где
-
- оператор Лапласа (лапласиан), 
- плотность заряда в потоке (количество
электронов в поперечном сечении потока,
умноженное на элементарный заряд), 
- электрическая постоянная. В декартовых
координатах оператор Лапласа имеет
вид:
Если полагать, что
катод и анод представляют собой
бесконечные параллельные плоские
пластины, то можно рассматривать
распределение потенциала как одномерное,
т.е. потенциал в межэлектродном промежутке
зависит только от координаты x.
Примем следующие граничные и начальные
условия: 
,
где 
- расстояние между катодом и анодом;
,
где
,-
анодное напряжение (потенциал анода,
измеренный относительно катода), U
– потенциал в данной точке поля;
;(потенциал
катода) 
x=0=0.
Для решения поставленной задачи составим исходную систему уравнений, включив в неё уравнение Пуассона (29) для одномерного случая, уравнение непрерывности (потока) и уравнение движения:
;
;
,
где j, n, m, e – соответственно плотность тока, – количество электронов в поперечном сечении потока, масса электрона, элементарный заряд.
Алгоритм
рения системы следующий: из уравнения
движения находится скорость электронов
и подставляется в уравнение непрерывности,
из полученного уравнения определяется
плотность заряда
и подставляется в уравнение Пуассона,
которое затем дважды интегрируют с
учётом граничных условий. В итоге имеем:
(1.30)
Выражение (30) называют уравнением Чайльда-Ленгмюра.
Анодный ток 
,
где 
- эффективная поверхность анода, т.е.
поверхность, непосредственно поглощающая
электроны потока. Если 
выражается в А/см,
-в В,
- в см, 
,
,
то
(1.31)
где
G – конкретная конструктивная
постоянная для каждого прибора, 
.
Выражение
(1.31) называют законом степени трёх
вторых. Оно является теоретической
ВАХ вакуумного диода. Реальные
(эксперимент
альные)
характеристики несколько отличаются
от расчётных (рис.1.16). Это связано с рядом
причин, в частности с неравномерным
распределением температуры по поверхности
катода. Концы катода и точки его крепления
к выводам цоколя имеют меньшую температуру,
чем средняя его часть из-за усиленного
теплоотвода через выводы цоколя. В
результате режим насыщения наступает
для разных участков катода при разных
анодных напряжениях.