1.2. Уравнения плоской и сферической волн
Уравнение волны является функцией периодической не только относительно времени, но и относительно координат, поскольку точки пространства, отстоящие друг от друга на расстоянии λ, колеблются одинаково.
Найдём
уравнение плоской монохроматической
волны. Для этого направим ось x
по направлению
распространения волны (рис.2б). Тогда
волновые поверхности (на рис.2б представлены
две из них – 1 и 2) будут перпендикулярны
оси х,
и, поскольку все точки волновой поверхности
колеблются одинаково, смещение
будет зависеть только от x
и
:
.
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0, имеют вид:
(1)
-
Рис.2. К выводу уравнения
плоской волны
Расстояние
от волновой поверхности 1 до волновой
поверхности 2 волна проходит за время
Следовательно, колебания частиц, лежащих
в плоскости 2, будут отставать от колебаний
частиц в плоскости 1 на время 
:
(2)
Последнее выражение и есть уравнение плоской волны. Начальная фаза определяется выбором начала отсчёта х и .
Зафиксируем какое либо значение фазы, положив
→
. (3)
Это
выражение связывает время
с теми значениями х,
в которых фаза имеет фиксированное
значение. Если найти значение 
,
то, тем самым, найдём скорость, с которой
перемещается данное значение фазы.
Дифференцируя (3), имеем:
,
следовательно 
(4)
Таким
образом, то, что ранее называлось
скоростью распространения волны,
является, по сути, скоростью распространения
фазы. Её называют фазовой
скоростью.
Поскольку в (4) 
,
то это указывает на то, что волна
распространяется в сторону возрастания
x.
Для
получения более компактного выражения
(2) вводится так называемое волновое
число 
.
Умножив на
,
получим его модифицированное выражение:
.
Тогда уравнение плоской волны (2)
преобразуется следующим образом:
(5)
Если
волна распространяется в направлении
убывания х,
то выражение для фазы 
и уравнение волны:
(6)
Как следует из полученных выражений, амплитуда колебаний, а, следовательно, и их энергия, от х не зависит, т.е. волна может неограниченно распространяться и её энергия не поглощается средой. Если же волна проходит через поглощающую среду, то её энергия убывает по мере удаления от источника вследствие уменьшения амплитуды колебаний – как будет показано далее – по экспоненциальному закону (закону Бугера-Ламберта). В этом случае говорят – волна затухает.
Как отмечалось ранее, если расстояние до источника колебаний много больше его размеров, то источник считается точечным, В однородной и изотропной среде волна, порождаемая таким источником, будет сферической. Согласно волновым представлениям энергия точечного источника равномерно распределяется по волновой поверхности.
Допустим,
фаза колебаний источника - 
Возьмём произвольную волновую поверхность
радиуса r.
Для того, чтобы дойти до неё волне
потребуется время 
.
Следовательно, точки, расположенные на
данной волновой поверхности, будут
колебаться с фазой 
.
И если в случае с плоской волной амплитуда
(и энергия) колебаний не зависят от х,
то амплитуда колебаний сферических
волн тесно связана с расстоянием до
источника. Действительно, образующая
волновой поверхности равна 
и растёт с ростом r,
а значит рост r
будет вызывать уменьшение амплитуды
колебаний по закону 
.
Таким образом, уравнение сферической
волны будет иметь вид:
, (7)
где А – амплитуда колебаний на расстоянии от источника, численно равного единице.
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.